2014高考数学 基础+方法全解 第15讲 挖掘三角函数公式的合理使用（含解析）

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1、2014高考数学基础+方法全解第15讲挖掘三角函数公式的合理使用（含解析）考纲要求:1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx．2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.3.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．4.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．5.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.基础知识回顾:1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2

2、)商数关系：＝tanα.【注】（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号。2．诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα.公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα.公式五：sin＝cosα

3、，cos＝sinα.公式六：sin＝cosα，cos＝－sinα.【注】诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．3.和角与差角公式：;;【注】变式：±=(±)(1)4.二倍角公式：=..5.合一变形：把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的形式。，其中．6.半角公式sin＝±；c

4、os＝±；tan＝±　tan＝＝7.三角函数的最值问题(1)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式①y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.②y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．③y＝可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式或sinx＝f(y)(cosx＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．(2)用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式①y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为cosx的二次函数式．②y＝asinx＋(a，b，c>0)，

5、令sinx＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．应用举例:【2013新课标（I）理15】设当时，函数取得最大值，则=____________.【应用点评】试题重点：三角恒等变换、三角函数的性质试题难点：化一公式的应用和实质名师点睛：【2013辽宁理】设向量（1）若（2）设函数【应用点评】试题重点：三角函数的基本运算、三角恒等变换、三角函数的图像与性质试题难点：定区间上求三角函数的最值名师点睛：①在定区间上求的值域时，应先通过题设条件确定的取值范围，再利用三角函数的图像与性质确定的最值；切

6、勿认为的值域一定是；②向量背景下的三角函数问题是高考数学的一大热点，常用的背景有向量的模、平行与垂直、夹角、数量积等.变式训练:【变式1】已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．【变式2】已知函数f(x)＝sin＋sin－cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)若函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后，得到函数g(x)的图象关于y轴对称，求实数m的最小值．方法、规律归纳:三角恒等变换方法观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）（1）“变角”主要指把未知的角向已

7、知的角转化，是变换的主线，如α=(α+β)－β=(α－β)+β,2α=(α+β)+(α－β),2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·,=(α－)－(－β)等.（2）“变名”指的是切化弦（正切化成正弦余弦），（3）“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。实战演练:1、已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝.(1)求tanα的值；(2)把用tanα表示出来，并求其值．(2)＝＝＝，∵tanα＝－，∴＝＝＝－.2、已知函数f(x)＝2sin，x∈R.(1)求f的值；(2)设α

8、，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．3、已知函数,.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.4、已知函数f(x)＝，x∈.(1)求sinx＋cosx的取值范围．(2)求函数f(x)的最小值．5、已知co