高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质命题与探究 新人教a版必修1

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1、1.3函数的基本性质问题探究问题1如果一个函数在两个区间上同增减,那么在这两个区间的并集上是不是还符合原来的增减性？探究:对某一函数y=f(x),它在区间(a,b)与(c,d)上都是单调增(减)函数,不能说y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是单调增(减)函数.比如说,函数y=在(-∞,0)、(0,+∞)内都是减函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上不能说是减函数,这是因为取个特例x1=1,x2=-1,可见y1=1,y2=-1,这时变成x1>x2时,却有y1>y2,不再符合减函数的定义.问题2你认为函数奇偶性定义中的哪些词语最为关键？一个函数是奇函

2、数或偶函数,你能说出它们的定义域有什么共同的特征吗？探究:定义中“定义域内的任意一个x”即x是定义域内任意的,不可只对部分特殊值满足条件.如f(x)=x2,x∈(-2,2),f(-1)=f(1),f(-)=f(),f(2)虽然存在,但f(-2)无定义,故f(-2)=f(2)不成立,所以f(x)是无奇偶性的.定义中“都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”即遍布定义域内的所有x都满足f(-x)是否等于±f(x).问题3函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要性质,你能说说这两条性质的区别吗？函数的奇偶性反映在函数图象上表现为图象的对称性,你能说出奇偶

3、性与对称性之间的对应关系吗？用定义来判断函数的奇偶性的一般步骤是什么？请你总结一下函数的奇偶性的性质.探究:根据函数单调性和奇偶性的定义我们知道:函数的单调性反映函数值的变化趋势,反映在图象上,是曲线的上升或下降.它通过定义区间(或子区间)内的任意两点x1、x2所对应的函数值大小的比较,推断定义区间(或其子区间)内无限多个函数值间的大小关系;函数的奇偶性反映函数的整体形态,即函数的奇偶性是函数图象对称性的代数描述.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于y轴成轴对称图形;反之也成立.所以可用函数图象的对称性来判断函数的奇偶性.判断函数奇偶性的

4、一般方法是利用定义,通常是先求函数的定义域,观察定义域是否关于原点对称,然后验证f(-x)是否等于±f(x);有时也可利用定义的变形形式,如验证f(-x)±f(x)=0,或=±1〔f(x)≠0〕是否成立.函数奇偶性的几个性质:(1)对称性:奇偶函数的定义域关于原点对称;(2)整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x都必须成立;(3)可逆性:f(-x)=f(x)f(x)是偶函数,f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数;(4)等价性:f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0;(5)奇函数的图象关

5、于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;(6)可分性:根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶函数.典题精讲例1:证明函数y=x+在(1,+∞)上为增函数.思路分析:证明函数的增减性,先在定义域上取x10,x1x2>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

6、2).∴函数y=x+在(1,+∞)上为增函数.例2:已知函数f(x)=,x∈[1,+∞.(1)当a=时,求函数的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞,f(x)>0恒成立,试求实数a的值范围.思路分析:先来解决第(1)问,当a的值给定时,函数变为f(x)=x++2,它类似于函数f(x)=x+,所以可以利用函数的单调性来判断最值.解:(1)当a=时,f(x)=x++2.f(x)在[1,+∞上为增函数,所以在f(x)在[1,+∞上的最小值为f(1)=.(2)f(x)=x++2,x∈[1,+∞.当a≥0时,函数f(x)的值恒为正.当a<0时,函数f(x)在[1,

7、+∞上为增函数,故当x=1时,f(x)有最小值3+a,于是当3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故0>a>-3.综上可知,当a>-3时,f(x)>0恒成立.例3:判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=;(2)f(x)=x3-2x;(3)f(x)=a(x∈R);(4)f(x)=思路分析:按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可.解:(1)函数的定义域为{x

8、x≠-1},不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3)函数

9、的定义域为R,关于原点对称,当a=0时,f(x)既是奇函数又是偶函数;当a≠0时