高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质互动课堂学案新人教a版必修1

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1、1.3函数的基本性质互动课堂疏导引导1.3.1　单调性与最大（小）值1.函数的单调性单调性和单调区间的定义如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数.如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.疑难疏引(1)函数是增函数还是减函数，是对定义域

2、内的某一个区间而言的，有的函数在整个定义域里是增函数（减函数），也有的函数在定义域的某个区间上是增函数，而在另外区间上又是减函数，也存在一些函数，根本就没有单调区间.如函数：f(x)=5x,(x∈{1,2,3}）．再者，因为一个固定点的函数值不会发生变化，所以函数的单调性不在某一个点去讨论，即使在定义域内，也不可以随便把单调区间写成闭区间（比如一些函数的区间端点正好是不连续的点）.(2)函数的单调性与单调区间的关系函数的单调性是对区间而言的，它是“局部”性质，对某一函数y=f（x），它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性；即使是同一个函数它在某区间上可能单调增，而在另

3、外一区间上可能单调减；对某一函数y=f（x），它在区间（a，b）与（c，d）上都是单调增（减）函数，不能说y=f（x）在（a，b）∪（c，d）上一定是单调增（减）函数.即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的，而有些函数在整个定义域内具有单调性.而有些函数在定义域内某个区间上是增函数，在另一些区间上是减函数.（3）函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数，它的图象是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图象是沿x轴正方向逐渐下降的.●案例1如何证明函数

4、y=x+在（1，＋∞）上为增函数?【探究】证明函数的增减性，先在定义域上取x1＜x2，然后作差f（x1）－f（x2），判断这个差的符号即可.设x1、x2是（1，＋∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=x1+－（x2+）=x1－x2+（－）=x1－x2－=（x1－x2）（）.∵x1－x2＜0，x1x2－1＞0，x1x2＞0，∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.∴函数y=x＋在（1，＋∞）上为增函数.【溯源】证明函数的单调性主要是利用定义来证明，其步骤为：（1）取值：设x1、x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2；（2）

5、作差变形：作差f（x1）－f（x2），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；（4）判断：根据定义作出结论.疑难疏引讨论函数y＝f［φ(x)］的单调性时要注意两点：(1)若u＝φ(x)，y＝f（u）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y＝f［φ(x)］为增函数；(2)若u＝φ(x)，y＝f(u)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y＝f［φ(x)］为减函数.若函数f(x)、g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在这个区间上：(1)函

6、数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.(2)C＞0时，函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性；C＜0时，函数f(x)与C·f(x)具有相反的单调性.(3)若f(x)≠0，则函数f(x)与具有相反的单调性.(4)若函数f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.(5)若f(x)＞0，g(x)＞0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若f(x)＜0，g(x)＜0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数.●案例2求下列函数的单调增区间：（1）y=－x2＋

7、2

8、x

9、＋3;（2）y=x-;（3）已知函数f(x)在其定义域［-4,4］上是增函数，求f(x2-2x)的增区间.【探究】（1）可画图判断，（2）和（3）都不能画图，（2）可看成两个基本函数g(x)=x和t(x)=-相加得到，（3）是复合函数f［u(x)］的形式，其中u(x)=x2-2x.（1）如图.可判断函数的单调增区间是（－∞，－1）,（0，1）.（2）g(x)=x在R上是增函数，t(x)=-在区间（-∞,0），（0，+∞）上是增函数，所以y=x-的增区间是（-∞,0）和（0，+∞）.（3）由函数定义域知-4≤x2-