高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合互动课堂学案 新人教a版必修1

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1、1.1集合互动课堂疏导引导1.1.1　集合的含义与表示1.集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合.疑难疏引（1）集合是数学中最原始的概念之一，无法给出它的定义只能作描述性说明.（2）集合中元素的特征.确定性是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准；互异性是指给定的一个集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一元素，这一点常被我们所忽略；无序性是指在一个集合中，元素之间都是平等的，它们都充当集合中的一员，

2、无先后次序之分.●案例1下列对象：①方程x2－9=0的实数根;②我国近代著名的数学家;③联合国常任理事国;④空气中密度大的气体，能否构成集合？【探究】研究对象能否构成集合的问题一般主要考查集合元素的确定性.①③中的研究对象显然符合确定性；②中“著名”没有明确的界限；④中“密度大”的程度没有明确的界限.因而①③能构成集合，②④不能.【溯源】判断命题是否构成集合最重要的标志就是看其所叙述对象是否具有确定性，即对所叙述对象进行描述的特征词语是否具有共性标准.●案例2当x为何值时，｛0，x，x2－x｝不能表示一个数集？【探究】问题的知识依托是集合中元素的互异

3、性，即同一集合中的元素必须是互不相同的.｛0，x，x2－x｝能否表示一个数集，关键在于它是否具备集合元素的三个特征，在这里，只要看它是否满足互异性，即要使｛0，x，x2－x｝不表示一个数集，只需x=0或x2-x=0或x2-x=x，即x=0或x=1或x=2.【溯源】判断一组对象能否构成一个集合，关键是看这组对象是否同时具备集合元素的三个特征.考查该知识点的问题分正向和逆向思维两个角度，其解决问题的基础还是正确理解三个特征要求.2.元素和集合的关系疑难疏引(1)元素和集合的关系是∈和，二者有且只有一种成立.集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元

4、素；只要是它的元素就必须符合条件．辩证理解集合和元素这两个概念：（2）集合和元素是两个不同的概念，符号∈和是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系．例如{1}∈{1,2,3}的写法就是错误的，而{1}∈{{1},{2},{3}}的写法就是正确的．●案例3设集合A={x

5、x=2k，k∈Z}，B={x

6、x=2k+1，k∈Z}，若a∈A，b∈B，试判断a+b与A、B的关系.【探究】首先看到a+b是元素，A、B是集合.∴a+b与A、B的关系应该是∈、的关系.∵a∈A，∴a=2k1（k1∈Z）.又∵b∈B，∴b=2k2+1（k2∈Z）.∴a+b=2（k

7、1+k2）+1.∵k1+k2∈Z，∴a+b∈B，从而a+bA.【溯源】理解一个集合的意义重点在于抓住代表元素及公共属性，而判断元素与集合的关系，依据就是元素的公共属性，解题时需做必要的恒等变形.3．常用的数集及其记法(1)全体非负整数组成的集合称为非负整数集，记作N.(2)所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+.(3)全体整数组成的集合称为整数集，记作Z.(4)全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q.(5)全体实数组成的集合称为实数集，记作R.准确记忆常用数集的符号表示，特别注意Z+、N+等拓展符号表示的集合特征以及数0的归属问题.4．集

8、合的表示方法列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，在大括号内表示集合的方法；图示法：Venn图法，采用平面上一条封闭曲线的内部表示集合.如用Venn图表示为或或.疑难疏引（1）在使用列举法时应注意以下四点：①元素间用逗号“，”；②元素不重复；③不考虑元素顺序；④对于含元素较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，可用列举法表示，但是必须把元素间的规律呈现出来后，才能用省略号表示，如｛1，2，3，…，n｝，｛1，3，5，7，9，…｝.（2）在使用描述法时应注意以下几点：①写清元

9、素代号；②说清集合中元素的特性；③文字表述多层次时，应当准确使用“且”“或”；④所有描述的内容都写在集合括号内；⑤语句力求简明、确切，字句逐一说明.（3）图示法表示集合的图形的形状、大小与集合的性质没有任何关系，它仅仅把集合中的元素都包括在内，从而体现“整体”.Venn图可直观地表示集合，帮助我们理解、分析问题，但不能作为严密的数学工具使用.（4）列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意：一般无限集时，不宜采用列举法，因为不能将无限集中元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定.但要注意，有时为了方便，在不引起混淆的情

10、况下，也把具有明显特征的无限集用列举法表示：如N={0，1，2，3