高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程课后导练 新人教b版选修1-1

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1、2.3.1抛物线及其标准方程课后导练基础达标1.已知抛物线的准线方程是x=-7,则抛物线的标准方程是(  )A.x2=-28yB.y2=28xC.y2=-28xD.x2=28y解析:∵=7,∴p=14.∵抛物线的焦点在x轴正半轴上.∴抛物线的方程是y2=28x.答案:B2.已知抛物线的焦点在直线3x-y+36=0上,则抛物线的标准方程是(  )A.x2=72yB.x2=144yC.y2=-48xD.x2=144y或y2=-48x解析:令x=0得y=36,令y=0得x=-12,∴抛物线的焦点为(0,36)或(-

2、12,0).∴所求抛物线的标准方程为x2=144y或y2=-48x.答案:D3.已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则p的值为(  )A.4B.3C.2D.1解析:抛物线的焦点为(,0),由得p=4.答案:A4.若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点P的轨迹方程是(  )A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=16x或y=0(x<0)解析:∵点F(4,0)在直线x+5=0的右侧,且P点到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距

3、离小1,∴点P到F(4,0)的距离与到直线x+4=0的距离相等.故点P的轨迹为抛物线,且顶点在原点,开口向右,p=8,故P点的轨迹方程为y2=16x.答案:C5.抛物线y=x2(a≠0)的焦点坐标为(  )A.(0,)或(0,-)B.(0,-)C.(0,)D.(,0)解析:把方程写成x2=ay.若a>0,则p=,焦点为F(0,);若a<0,则p=,开口向下,焦点为F(0,).答案:C6.圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是_________.解析:由题设可知,圆与x轴的切点

4、为抛物线的焦点∴圆心为(,±1),半径为1.∴圆的方程为(x-)2+(y±1)2=1.答案:(x-)2+(y±1)2=17.与抛物线y2=x关于直线x-y=0对称的抛物线的准线方程是_________.解析:所求抛物线方程为x2=y,其准线方程是y=-.答案:y=-8.抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10,则P点的坐标是_________.解析:设P点的坐标为(x,y).∵

5、PF

6、=10,∴1+x=10.∴x=9.把x=9代入方程y2=4x中,解得y=±6.∴P点的坐标是(9,±6).答案:(9,±6

7、)9.抛物线的焦点F在x轴上,A(m,-3)在抛物线上,且|AF|=5,求抛物线的标准方程.解:设抛物线方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).∵A点在抛物线上,∴(-3)2=2pm或(-3)2=-2pm.∴m=±.①又

8、AF

9、=+

10、m

11、=5.②把①代入②可得+=5,即p2-10p+9=0.∴p=1或p=9.∴所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.10.已知抛物线的焦点为(3,3),准线为x轴,求抛物线的方程.解:设M(x,y)为抛物线上的任意一点,则由抛物线的定义,得=

12、y

13、.平方整理,得y=

14、x2-x+3,为所求抛物线的方程.点评:当抛物线不在标准位置时,只有利用其定义来求方程.综合运用11.求抛物线y=ax2的焦点坐标和准线方程.解:方程y=ax2不是抛物线的标准方程的形式,需将其化成标准方程.抛物线方程可化为x2=y,其中2p=,∴p=,焦点在y轴上.当a>0时,焦点坐标为(0,),准线方程为y=-;当a<0时,焦点坐标为(0,),准线方程为y=-.综上所述,可知:抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,),准线方程为y=-.12.求抛物线x2=y上的点P到直线2x-y-4=0的距离最小时的点P的坐

15、标.解:设点P(x,y),则x2=y.P到直线2x-y-4=0的距离d=

16、2x-x2-4

17、=

18、x2-2x+4

19、=[(x-1)2+3].∴当x=1时,d最小,此时y=1.∴P(1,1)为所求.13.A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,满足·=0(O是原点),求证:(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值;(2)直线AB过定点.证明:设A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)∵·=0,∴OA⊥OB.∴.∴x1x2=-y1y2        ①由∴(y1y2)2=4p2(x1x2)        

20、   ④由①④得y1y2=-4p2且x1x2=4p2.∴结论成立.(2)在(1)中②-③,得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2).∴∴直线AB方程为y-y1=(x-x1).∴y==∴直线AB过定点(2p,0).拓展探究14.(经典回放)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F任作一条直线m,交抛物线于P1、P2两点.求证:以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.证明:设P1P2的中点为P

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