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1、第五节反常重积分本节将研究无界区域或无界函数的情形.着重就二重积分进行讨论.一、无界区域上的反常积分设Γ是曲线，令记号：.定义1设D是平面R2中无界区域，它的边界有有限条光滑曲线所组成,Γ是任一条面积为0的连续有界曲线,Γ将D分割成若干部分,其中到(0,0)距离最小的有界部分(或其一)记为D(Γ)(如图),是D上的函数,并且在D的任意有界可求面积的子集上可积.如果存在,则称在D上可积,这个极限称为在D上的反常二重积分.还是记作:yD,即=.当在无界区域D上可积时,称收敛.如果不存在,我们还用这个记号,也称为在上的反常二重积分,但这时我们称这
2、个反常二重积分发散.D(Γ)xΓ图12-5-1其中我们说D(Γ)是Γ从D中割出的有界区域.显然若和在D上可积，则在D上可积.定理12.16设D是平面R2中无界区域，是D上的函数,≥0.是一列分段光滑曲线,如定义中,它们将D分割出有界子区域满足,及,那么收敛的充分必要条件是数列收敛,并且=.证明由定义,必要性是显然的.只要证充分性.注意到是单调增数列,当记时.∪.对任意一条分段光滑曲线Γ,它从D割出的有界可求面积的区域D(Γ),由于条件知,存在N1,当n>N1时,D(Γ)Dn,.对任意ε>0,存在N2>0,当n>N2时,.所以,对分段光滑曲线
3、Γ,D(Γ)为有界区域.当>时,从而有极限的定义知,,所以收敛.并有上面的等式.例1求的值.解设自然数n,取Γn:.所以，即，原反常积分收敛.对自然数n,再取Γ’n:.那么也有从而我们可得如下的概率积分:.定理12.17(比较判别法)设D是平面R2中无界区域，,是D上的函数,在D的任何有界可求面积的子区域上可积,并且.那么(1)当收敛时,收敛时;(2)当发散时,发散时.证明留给读者.定义12.18设D是平面R2中无界区域，在D上的可积函数的充分必要条件是在D上的可积.证明充分性设
4、f(x,y)
5、在D上的可积,令显然,，所以在D上的可积.故=
6、-也在D上的可积.必要性用反证法.设f(x,y)在D上的可积,但
7、f(x,y)
8、=+在D上的不可积,即和至少有一个不可积.不妨设不可积.那么对任意正数K,存在一条曲线Γ,它从D割出有界的D(Γ)满足:.一般地,由归纳可得,存在一族分段光滑曲线,它们将D分割出有界子区域满足,及,并且,(n=1,2,……),即,(n=1,2,……).因f(x,y)在D上的可积,f(x,y)在上的可积.容易得在上的可积.其Darboux小和收敛于.所以,当把充分细的分划P:，其面积分别是:.记,,有,(n=1,2,……).记Pn为的小区域的并,那么,(n=1,2
9、,……).令En为Dn和Pn的并,y,(n=1,2,……).Dn+1-Dnσn+1连接区域DnΓn+1x图12-5-2Γn如果En不是一个连通区域，我们可以作几个长条矩形连接各个不相交的区域.使得这些长条矩形和原有的所有区域形成连通的区域记为Σn，这些长条矩形的取法,使得,(n=1,2,……).显然,n可以充分大,与f(x,y)在D上的可积矛盾.推论设D是平面R2中无界区域，是D上的函数,并且在D的任意有界可求面积的子集上可积.,那么(1)当足够大时,(c是常数),如果α>2,则反常二重积分收敛;(2)当足够大时,(c是常数),如果α≤2,
10、则反常二重积分发散.二、无界函数的反常积分设D是平面R2中有界可求面积区域，P是的聚点,是D(可能除P以外)上的函数,在P的任何邻域内无界(P称为奇点或瑕点),.设Δ为含有P的任何小区域,在D-Δ上可积.设.y如果存在,则称在D上可积,这个极限也称为在D上的反常二重积分.还是记作:,即=.当在D上可积时,称收敛.如果不存在,我们还用这个记号,也称为在D上的无界函数反常二重积分,但这时我们称这个反常二重积分发散.ΔPDx图12-5-3Ox与无界区域的反常二重积分一样,可以对无界函数反常二重积分也可以建立相应的收敛定理.定理12.18设D是平面
11、R2中有界区域，P(x0,y0)是D的聚点,是D(可能除P以外)上的函数,在P的任何邻域内无界,.设Δ为含有P的任何小区域,在D-Δ上可积,那么(1)当足够小时,(c是常数),如果α<2,则反常二重积分收敛;(2)当足够小时,(c是常数),如果α≥2,则反常二重积分发散.对于非负函数,也有与无界区域的反常二重积分一样的结果.例2求.解显然函数是区域上.(0,0)可能为奇点,取Δ:,那么当,,当,发散.类似于反常二重积分,我们可以定义一般的反常n重积分积分,在此不在重复,读者可以自己叙述.习题12-51.判别收敛性1);2);3);4),;5
12、);6);2.计算1);2);3);3.证明:设,f(x,y)在上连续,那么收敛的充要条件是.
