高三数学一轮复习 7.函数的奇偶性与周期性学案

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1、湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习7.函数的奇偶性与周期性学案【学习目标】1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．2.掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．预习案1．奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性．2．证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义

2、域关于对称；(2)判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，从而证得函数是奇(偶)函数．3．奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于对称，偶函数图像关于对称；(2)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性；若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性．(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(

3、x

4、)，反之也成立．4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)＝ax＋a－x为函数，函数f(x)＝ax－a－x为函数；(2)函数f(x)＝＝(a>0且a≠1)为函数；(3)函数f(x)＝log

5、a为函数；(4)函数f(x)＝loga(x＋)为函数．5．周期函数若f(x)对于定义域中任意x均有(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．6．函数的对称性若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于对称．【预习自测】1．(课本改编题)下列函数中，所有奇函数的序号是_______．①f(x)＝2x4＋3x2；　　　②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝；④f(x)＝x3＋1.2．下列函数为偶函数的是(　　)A．y＝sinx　　　　　　B．y＝x3C．y＝exD．y＝ln3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为

6、偶函数，则实数a＝________.4．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图像上的（）A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a))5．(2013·衡水调研卷)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝________．探究案题型一判断函数的奇偶性例1.　判断下列函数的奇偶性，并说明理由．(1)f(x)＝x2－

7、x

8、＋1　x∈[－1,4]；(2)f(x)＝(x－1)　x∈(－1,1)；(3)f(x)＝＋　(a>0，a≠1)．探究1.判

9、断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝ln；(2)g(x)＝x2＋

10、x－a

11、；(3)f(x)＝题型二奇偶性的应用例2.　(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x＞0时，f(x)＝x＋1，f(x)的解析式为．(2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1]时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x－)＜0的解集为．(3)函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为．探究2.　(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f(π)

12、y＝f(x)的图像的对称中心为__________．题型三函数的周期性例3.　设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)证明：函数f(x)为周期函数；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论．探究3.(1)f(x)的定义域为R的奇函数，且图像关于直线x＝1对称，试判断f(x)的周期性．(2)f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R均满足f(x)＝－，试判断函数f(x)的周期性．例4.　已知f(x)为偶函数，且f(－1－x

13、)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，求x∈[5,7]时，f(x)的解析式．探究4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．我的学习总结：（1）我对知识的总结.（2）我对数学思想及方法的总结