高三一轮复习--7 函数的奇偶性与周期性

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1、第二章函数、导数及其应用第四节函数的奇偶性与周期性高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功方案第三步高考成功方案第四步考纲点击结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．1．对任意实数x，下列函数为偶函数的是()A．y＝2x－3B．y＝sinxC．y＝ln5xD．y＝

2、x

3、cosx解析：A是非奇非偶函数，B是奇函数，C是奇函数，D是偶函数．答案：D2．“函数f(x)为奇函数”是“f(0)＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案：D3．(2011·陕西高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x

4、)，则y＝f(x)的图象可能是()解析：由f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，由f(x＋2)＝f(x)知f(x)是周期为2的函数，再结合图象可知B正确．答案：B4．(2011·浙江高考)若函数f(x)＝x2－

5、x＋a

6、为偶函数，则实数a＝________.解析：由题意知，函数f(x)＝x2－

7、x＋a

8、为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－

9、1＋a

10、＝1－

11、－1＋a

12、.∴a＝0.答案：0解析：令x<0，∴－x>0，g(－x)＝－2x－3＝－g(x)．∴g(x)＝2x＋3.∴f(x)＝2x＋3.答案：2x＋31．函数的奇偶性奇偶性定义图像特点奇函数如果对于函数f(x

13、)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数关于对称f(－x)＝－f(x)y轴奇偶性定义图像特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是奇函数关于对称f(－x)＝－f(x)原点2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小最小正数(3)定义域(－∞，－1)∪(1，＋∞)关于原点对称

14、．∵当x<－1时，－x>1.∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)(x<－1)．当x>1时，－x<－1，∴f(－x)＝－x＋2＝f(x)(x>1)．∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．[悟一法]判断函数奇偶性的方法：(1)首先确定函数的定义域，看是否关于原点对称．否则，既不是奇函数也不是偶函数．(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：①定义判断：f(－x)＝f(x)⇔f(x)为偶函数，f(－x)＝－f(x)⇔f(x)为奇函数．(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行．(4)对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，合理、灵活地变

15、形配凑来判定．①f(3)＝0；②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；④函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．其中正确命题的序号为________．(把所有正确命题的序号都填上)从而f(x)在[－3,0]上单调递减，又从上述过程可知原函数的周期为6，从而当x∈[－9，－6]时，x＋6∈[－3,0]，此时为减函数，所以命题③错误．同理，f(x)在[3,6]上单调递减，所以只有f(－9)＝f(－3)＝f(3)＝f(9)＝0.得命题④正确．综上所述，正确命题的序号为①②④.[答案]①②④[悟一法]奇函数在对称的

16、两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性，因此，若函数具有奇偶性，研究单调性或最值或作图像等问题，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得．[通一类]2．(2012·浙江五校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(

17、2－a2)>f(a)，得2－a2>a，即－2