函数的奇偶性与周期性复习

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1、第3课时　函数的奇偶性与周期性2014高考导航考纲展示备考指南1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.1.函数的奇偶性是高考考查的热点.2.函数奇偶性的判断，利用奇、偶函数图象特点解决相关问题，利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点.3.题型以选择题和填空题为主，还可以与单调性等其他知识点交汇，以解答题的形式出现.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义

2、图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_____________，那么函数f(x)是偶函数关于____对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_____________，那么函数f(x)是奇函数关于____对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点思考探究奇、偶函数的定义域有何特点？提示：若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称．反之，若函数的定义域不关于原点对称，则该函数无奇偶性．2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存

3、在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝______，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____的正数，那么这个_____正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x)最小最小课前热身解析：选D.由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数．答案：B4.若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________．解析：由f(x)＝(x＋a)(x－4)，得f(x)

4、＝x2＋(a－4)x－4a，若f(x)为偶函数，则a－4＝0，即a＝4.答案：45.已知函数f(x)，对∀x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且x∈(0，2)时，f(x)＝2012x2，则f(2013)＝________．答案：2012考点探究讲练互动例1考点突破【题后感悟】(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．跟踪训练例2【答案】

5、(1)B(2)[－1，1)【规律小结】函数奇偶性的应用：(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．(2)已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数时，常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式．由系数的对等性可得知字母的值．(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．跟踪训练答案：(1)x2－x(2)－2

6、例3【答案】B跟踪训练3.(2013·阜阳月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0，2]，∴f(4－x

7、)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0，又f(2012)＋f(2013)＝f(0)＋f(1)＝1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋

8、…＋f(2013)＝1.方法感悟3.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．4.分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．名师讲坛精彩呈现例难题易解【答案】2跟踪训练4.(2012·高考上海卷)已知y＝f(x)是奇函数．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝____