2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表示学案新人教a版选修2

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1、3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标 1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律,并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式,并能运用这些知识解决一些相关问题.知识点一 空间向量的坐标运算思考 设m=(x1,y1),n=(x2,y2),那么m+n,m-n,λm,m·n如何运算?答案 m+n=(x1+x2,y1+y2),m-n=(x1-x2,y1-y2),λm=(λx1,λy1),m·n=x1x2+y1y2.梳理 空间向量a,b,其坐标形式为a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b

2、3).向量运算向量表示坐标表示加法a+b(a1+b1,a2+b2,a3+b3)减法a-b(a1-b1,a2-b2,a3-b3)数乘λa(λa1,λa2,λa3)数量积a·ba1b1+a2b2+a3b3知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a∥ba=λb(λ∈R)a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)a⊥ba·b=0a1b1+a2b2+a3b3=0模

3、a

4、=

5、a

6、=夹角cos〈a,b〉=cos〈a,b〉=类型一 空间向量的坐标运算例1 已知a=(1,-2,1),a-b=(

7、-1,2,-1),则b等于(  )A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)答案 A解析 依题意,得b=a-(-1,2,-1)=a+(1,-2,1)=2(1,-2,1)=(2,-4,2).反思与感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来,然后通过建立方程组,解方程求出其坐标.跟踪训练1 若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=____

8、____.答案 2解析 据题意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),故(c-a)·2b=2(1-x)=-2,解得x=2.类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示例2 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.(1)若

9、c

10、=3,c∥.求c;(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.解 (1)因为=(-2,-1,2),且c∥,所以设c=λ=(-2λ,-λ,2λ),得

11、c

12、==3

13、λ

14、=3,解得λ=±1.即c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).(2)因为a==(1,1,0),b==(-1,0,2),所以ka+b=

15、(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).又因为(ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0.即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0.解得k=2或k=-.引申探究若将本例(2)中改为“若ka-b与ka+2b互相垂直”,求k的值.解 由题意知ka-b=(k+1,k,-2),ka+2b=(k-2,k,4),∵(ka-b)⊥(ka+2b),∴(ka-b)·(ka+2b)=0,即(k+1)(k-2)+k2-8=0,解得k=-2或k=,故所求k的值为-2或.反思与感悟 (1)平行与垂直的判断①应用向量的方法判定两直线平行,只

16、需判断两直线的方向向量是否共线.②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程.②选择坐标形式,以达到简化运算的目的.跟踪训练2 在正方体AC1中,已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点.证明:(1)AB1∥GE,AB1⊥EH;(2)A1G⊥平面EFD.证明 如图,以A为原点建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1)

17、,C1(1,1,1),D1(0,1,1),由中点性质得E,F,G,H.(1)=(1,0,1),=,=,∵=2,·=1×+0+1×=0,∴∥,⊥.即AB1∥GE,AB1⊥EH.(2)∵=,=,=,∴·=-+0=0,·=+0-=0,∴A1G⊥DF,A1G⊥DE.又DF∩DE=D,∴A1G⊥平面EFD.类型三 空间向量的夹角与长度的计算例3 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.(1)求证:EF⊥CF;(2)求与所成角的余弦值;(3)求CE的长.(1)证明 建立如图所示

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