高中第二册(下a)数学第九章 综合复习

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1、第九章综合复习●教学目标（一）教学知识点1.高中数学中的主要数学思想.2.化归与类比思想在立体几何中的应用.3.分类讨论思想在立体几何中的应用.4.整体思想在立体几何中的应用.5.函数思想和方程思想在立体几何中的应用.（二）能力训练要求1.使学生能够体会各种数学思想在解题中的作用.2.使学生深刻领悟化归与类比思想在立体几何中的应用.3.使学生深刻领悟分类讨论思想在立体几何中的应用.4.使学生深刻领悟整体思想在立体几何中的应用.5.使学生深刻领悟函数思想和方程思想在立体几何中的作用.（三）德育渗透目标1.继续体验事物与事物之间的普遍联系及其相互转化的辩证唯

2、物主义观点.2.培养学生用运动变化的辩证唯物主义观点分析、解决问题.●教学重点体验各种数学思想在解题中的应用.●教学难点怎样以数学思想为指导，准确选用数学方法解决具体问题.●教学方法启发引导式通过例题的分析，启发学生体验各种数学思想在解题中的重要作用，引导学生去意识只有正确的数学思想作指导，才能选择出恰当具体的数学方法于解题中.●教具准备投影片四张.第一张：化归与类比思想的应用（记作A)第二张：分类讨论思想的应用（记作B)第三张：整体思想在解题中的应用（记作C)第四张：函数思想与方程思想的应用（记作D)●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］数学思想是数学知识在更高

3、层次上的概括，它蕴含在每一个数学问题的发生、发展和应用的过程中，这节课，我们来讨论数学思想在立体几何问题中的体现.Ⅱ.讲授新课［师］在前面的学习中，我们经常提到的数学思想有哪些呢？［生］化归与类比的思想、分类讨论思想、数形结合思想、整体性思想、函数与方程思想.［师］下面，我们一起体会以上数学思想在解决立体几何问题中的应用.（打出投影片A）［例1］在平行六面体中，MA、MB、MC是交于一点M的三条棱，MD是六面体的一条对角线，求证：MD必过△ABC的重心.分析：由于△ABC的重心在中线AO上，而AO、DM在同一平面内，所以可将问题转化成平面AMPD的问题.

4、证明：如图，连结PM、AD，并设AO和DM交于点G.∵对角面AMPD是平行四边形,∴PM=DA.∵△OMG∽△ADG,∴OG∶AG=OM∶AD=1∶2.∵AO是△ABC的边BC的中线，且AG∶GO=2∶1，∴点G是△ABC的重心.［师］本题是将有关元素化归到辅助平面AMPD中，再利用平面几何的方法解决的，这是立体几何常用的“立体问题平面化”的重要思想的应用，再来体会一例.［例2］如图，已知三棱锥P—ABC中，棱AC的长为6，其余各棱长均为5，求此三棱锥的体积.分析：若用公式V=PO·S△ABC（其中PO为高）直接计算，将会遇到计算量烦杂的问题，如果能注意

5、到只有棱AC的长为6，其他棱长都是5，就可以过AC的中点作平面把原三棱锥分成两个体积相等的小三棱锥，使问题转化为求小三棱锥的体积.解：取AC的中点D，则直线AC⊥平面PBO，于是有VP—ABC=VA—PBD+VC—PBD=AD·S△PBD+CD·S△PBD=（AD+CD）·S△PBD=×6·S△PBD=2S△PBD.∵PB=5，BD=PD=4，∴S△PBD=,∴VP—ABC=.［师］以上这种通过分割几何体使问题由未知转化成已知的方法在求几何体的面积、体积等计算题中常常用到.下面，体会分类讨论思想在立体几何中的应用.（打出投影片B）［例3］如图，已知一条线

6、段AB，它的两个端点分别在直二面角P—l—Q的两个面内转动，若AB和平面P、Q所成角分别为α、β试讨论α+β的范围.分析：由于AB与l的位置关系不定，故需分类讨论.解：（1）当AB⊥l时，显然α+β=90°.(2)当AB与l不垂直时，在平面P内作AC⊥l,C为垂足，连结BC.∵平面P⊥平面Q，∴AC⊥平面Q.∴∠ABC是AB与平面Q所成的角，即∠ABC=β.在平面Q内作BD⊥l,垂足为D，连结AD，同理得∠BAD=α.在Rt△BDA和Rt△ACB中，BD

7、，∴α+β<90°.(3)若AB与l重合时，α+β=0°.综上可得0°≤α+β≤90°.［师］由于几何问题中各元素的位置关系不定，对于所有可能的情况，必须分开一一进行研究.下面，再来体会整体思想在立体几何中的应用（打出投影片C）［例4］如图（1），在三棱锥P—ABC中，三组对棱相等，且PA=13，PB=14，PC=15，求其体积.分析：若按常规解题思路是求底面积和高，但底面积易求，高不易求.由已知条件中的三组对棱相等，可联想到长方体对面不平行的对角线也具有这种性质,从而将此三棱锥补成一个长方体.解：可将如图（1）的三棱锥补成图（2）的长方体，设AD=a,

8、DB=b,DC=c.∴a2+b2=152,b2+c2=132,a2+c2=142