高中第二册(下a)数学直线和平复习

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1、直线和平复习（四） 教学目标结合第一章的内容，渗透数学思想方法．（数形结合思想；方程的思想；转化的思想；分类讨论的思想）教学重点和难点数学思想的渗透与培养．教学设计过程师：今天是复习课的最后一节．今天以复习题目中体现的数学思想为主线，研究几种常用数学思想在本章的体现．分类讨论的思想是同学们比较熟悉的．使用较多的是在代数课上y=ax2+bx+c的图象，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．几何中，分类讨论思想的应用，主要是依据图形中元素位置关系的不同而展开的．请看以下一组题目：例1 已知：a∥b，直线a平面α，直线b平面α，直线c平面α，c∥a

2、．若直线a与直线b的距离为6cm，直线b与直线c的距离5cm，直线c与平面α的距离为4cm．求：直线a与直线c的距离．（教师画图）生A：在直线c上任取一点A，作AB⊥α于B，过B作BC⊥a于C，反向延长交b于D，因为a∥b，所以BC⊥b．分别连结AC、AD，根据三垂线定理，a⊥AC，b⊥AD．据题意知：CD=6cm，AD=5cm，AB=4cm，在Rt△ABD中，求出BD=3cm，所以BC=3cm，在Rt△ABC中，求出AC=5cm．师：哪位同学对“生A”的解答有补充？师：生A的解答基础是依据我画的图．而原题中并没有给图，也没有“如图”这样的说明，因

3、此我们先要研究图应该怎么画！生B：老师，我对“生A”的发言有补充．这个题目的图形还有以下两种可能：师：好．这道题目体现了分类讨论的思想．它是根据直线c在平面α内射影的不同位置来进行讨论的．生C：老师，我认为还有两种情况：情形1：直线c在平面α内射影与直线a重合．情形2：直线c在平面α内射影与直线b重合．师：“生C”同学的补充很好．例1应该分为5种情况来讨论．但是其中会有一些情况无解，请同学们现在实践一下．图一的位置．其余三种位置关系均无解．师：还有一点提醒同学们注意：对于不同的位置关系，解题时都要给予论述，对于无解的情形要讲清无解的原因。有些同学认

4、为无解就不用写了，这种认识是错误的．再看例2．例2 平面α外两点A，B，它们到平面α的距离分别为a，b，求：点P到平面α的距离．生A：我认为有两种情况：一种是点A、点B在平面α同侧；另一种是点A、点B在平面α异侧．生B：我有不同看法，已知条件中没有给出a，b的大小关系，“生A”解决图5情形时，默认为b＞a是不对的，应该再分两种情形：师：“生B”的补充很好，例2不仅在图形的位置关系上分类讨论，还要根据数据a，b的大小关系来分类讨论．如果简化题目，已知条件上补一个条件：b＞a，是否上述解答就全面了呢？生C：当A，B两点在两侧时，在图6中，点P不一定在A

5、1B1上方．当b＞2a时，点P位于A1B1上方；当b=2a时，点P在A1B1上；师：经过“生C”的补充，题目解答就全面了．下面谈一下方程的思想．在初中阶段，同学们重点研究了列方程解应用题，这就是最基本的方程的思想．通过设未知数，寻求已知量与未知量之间的关系，从而获得问题的解决．下面请看例3．例3 如图7，二面角α-l-β，点B∈l，ABα，BCβ．∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=60°．求：二面角α-l-β的大小．师：首先我们可以根据二面角的平面角的定义构造二面角的平面角．具体作法是：在l上选点D，经过点D分别在α，β平面内作l的垂线交BA，

6、BC于E，F．设AD=α，由∠ABD=45°得BD=a．∠EDF=90°．本例特点在于题目中没有给出任何线段的长度，而是通过设未知量，进而知道已知与未知的关系．例4 二面角α-EF-β为120°，点A∈α，点B∈β，∠ACB为二面角的平面角，且AC=BC=a．在EF上取一点D．问：D点在何处时，∠ADE=∠ADB=∠BDE=θ？为了确定点D的位置，可设与D点有关的某一条线段长为x，依据题设建立等量关系．再求出x的值，同学们实践一下．生A：在EF上取点D，设AD=x．因为 AC=BC=a，∠ACB=120°，因为 ∠ADE=∠ADB=∠BDE=0，所

7、以 ∠ADC=180°-θ．△ABD中由余弦定理可得：AB2=x2+x2-2x2cosθ，生B：我认为解答不全面，刚才“生A”的解答中，运用了图8中各点之间位置关系．应该给予讨论，当点D位于CF之间时，∠ADC=180°而不是等于180°-θ．师：“生B”的问题提的好，在“生A”的解答中，距点C的距离例5 如图9，∠ASB=90°，∠CSB=75°，∠ASC=105°，由求：△ABC的周长．师：这道题目的难度在于如何建立一座沟通已知与未知的桥梁．生：观察图形，我发现图中有三对全等三角形．△ADS≌△AFS；△FSC≌△ESC；△BES≌△BDS．设

8、∠DSA=α，∠FSC=β，∠ESB=γ．师：上面列举了3个题目，从不同的侧面，以不同的形式反映出方程的思想在立体几何解题