高中数学选修2-2导数的应用 同步练习

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1、导数的应用同步练习一、考试内容：利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值二、考试要求：了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。1导数在.函数单调性方面的应用。（1）求单调区间问题。例1．求下列函数单调区间（1）（2）（3）（4）例2、（全国卷10）函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（）A()B(π,2π)C()D(2π,3π)例3、(天津卷9)函数)为增函数的区间是(A)(B)(C)(D)（2）．利

2、用函数单调性确定图象大致形状问题。（特别注意二次函数的导函数是一次函数）xyO图1例4．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数（　　）xyOAxyOBxyOCyODxy=f¢(x)可能为（　　）例5．设是函数的导函数，的图象如右图所示，则的图象最有可能的是（）例6．.函数的图象过原点且它的导函数的图象是如右图所示的一条直线,则图象的顶点在()A.第I象限B.第II象限C.第III象限D.第IV象限（3）求参数范围问题。（全国各地各年高考中该题型屡见不鲜，望要加以注意）例7求满足条件的a范围。（1）使为上增函数（2）使

3、为上……（3）使为上例8．01年天津卷）设，是上的偶函数。（I）求的值；（II）证明在上是增函数。（试用单调性的定义与导数两种方法解决该问题）例9、设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8，其中aÎR。（1）若f(x)在x=3处取得极值，求常数a的值；（2）若f(x)在(-¥,0)上为增函数，求a的取值范围。（4）证明不等式问题。（构造函数，利用单调性）例10证下列不等式（1）（2）（3）2．极值问题。例与是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点。（1）求常数a、b的值;（2）判断函数在，处的值是函数的极大值还是极小值，并说明理

4、由。例12．20、已知函数f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行。（1）求f(x)的解析式（含c）；（2）求函数的极大值与极小值的差；（2）若x[1,3]时，f(x)>1-4c2恒成立，求实数c的取值范围。例13．（天津卷20）（本小题满分12分）已知函数在处取得极值。(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；(II)过点作曲线的切线，求此切线方程。总结求极值的步骤：3．最值问题。例14．(湖南20)(本小题满分12分)已知函数其中a≤0,e为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论函数f(x)的

5、单调性;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.例15．函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，-1B．1，-17C．3，-17D．9，-19下列说法正确的是A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x)A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能.函数f(x)=sin2x－x在［－,］上的最大值为_____；最小值为____、例16．某工厂生产某种产品，已

6、知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润L达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）例17．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？求最值的步骤：最值与极值的区别：导数的应用答案例1解：（1）时∴，（2）∴，（3）∴∴，，（4）定义域为，例7．解：（1）∴，时也成立∴（2）时也成立∴（3）例8．解：（I）依题意，对一切有，即，∴对一切成立，由此得到，，又∵，∴

7、。（II）证明：由，得，当时，有，此时。∴在上是增函数。例9．解：（Ⅰ）因取得极值，所以解得经检验知当为极值点.（Ⅱ）令当和上为增函数，故当上为增函数.当上为增函数，从而上也为增函数.综上所述，当上为增函数.10证：（1），∴为上∴恒成立∴∴在上∴恒成立（2）原式令∴∴∴（3）令∴∴例11．解：（1）由题意得且是的两根由韦达定理得（2）由（1）得且的两根为故随如下表：＋0－0＋由上表可知，函数在取得极大值，在处取得极小值例12．解：（1）因为函数在x=2处有极值，故有①又函数图像在x=1处的切线的斜率为所以②由①②解得（2）由（1）知令解得故有下

8、表＋－＋由上表可知，函数有极大值，极小值所以极大值与极小值之差为－0＋↘↗（3）由上表得在[1，3]上最小值为>1-4c2即可使f(x)