高中数学2.4 抛物线 同步练习

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1、抛物线同步练习一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．1.设坐标原点为O，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则(B)A.B.－C.3D.－32.有一个等腰梯形ABCD的四个顶点都在抛物线x＝4y2上，且上、下底的长分别为2和4，则等腰梯形ABCD的面积等于(A)A．36．B．144C．108．D．18．3.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（B）A．B．C．D．04.已知椭圆的焦点是F1、F2、P是椭圆上的一个动点．如果延长F1P到Q，使得

2、PQ

3、=

4、PF2

5、，那么动点Q的轨迹是（A）A.圆B.椭

6、圆C.双曲线的一支D.抛物线5.已知：Ｐ为抛物线ｙ＝上的任意一点，Ｆ为抛物线的焦点，点Ａ坐标为(1，1)，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为（　B）A．B．2C．D．二、填写题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．6.抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△AOB内接于抛物线．O为抛物线的顶点，如果△AOB的垂心恰与焦点重舍，且其面积等于20，则此抛物线的方程为.7.若一直线与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A、B两点，且OA⊥OB，点O在直线AB上的射影为C(2，1)，则抛物线的方程是．8.过抛物线y2＝x的顶点O作抛物线的两条

7、弦OA、OB，且使OA⊥OB，过O作弦AB的垂线，垂足为H，则H的轨迹方程为．三、解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.抛物线y2=6x内有一点P(4，1)，抛物线的弦AB过P点且被P点平分，(1)AB所在直线的方程．(2)求证：在抛物线上不能找到四点，使它们是平行四边形的四个顶点10.抛物线y2=4Px(P＞0)上的动点M与定点A(1，0)的距离

8、MA

9、达到最小时，点M的位置记作M0，当

10、M0A

11、＜1时．(1)求P的取值范围；(2)求M0的轨迹方程．11.已知定点A(0，t)(t≠0

12、)，点M是抛物线y2=x上一动点，A点关于M点的对称点是N．(1)求点N的轨迹方程(2)设(1)中所求轨迹与抛物线y2=x交于B、C两点，则当AB⊥AC时，求t的值．12.已知抛物线y2=2Px(P＞0)．过动点M(a，0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，

13、AB

14、≤2P．(1)求a的取值范围．(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值．13*.已知抛物线y2=4ax(0＜a＜1＝的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段M

15、N的中点．(1）求｜MF｜+｜NF｜的值；（2）是否存在这样的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由.14*.长为l(l≥1)的线段AB，其两端点A、B分别在抛物线y=x2上移动(1)求AB中点M的轨迹方程．(2)求AB中点M离x轴最近时的坐标．参考答案一、选择题：1.B2.A3.B4.A5.B二、填空题：6．【答案】7．【答案】8．【答案】三、解答题：9.【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y12=6x1，y22=6x2二式相减得：(y1＋y2)(y1－y2)

16、=6(x1－x2)∵x1≠x2，把y1＋y2=2，化简得直线AB的方程：3x－y－11=0(2)解：(用反证法)假设ABCD的四个顶点都在抛物线y2=2Px上，设A(2Pt12，2Pt1)，B(2Rt22，2Rt2)，C(2Rt32，2Rt3)，D(2Pt42，2Rt4)，(t1≠t2≠t3≠t4)当AB、CD不垂直x轴时(BC、DA也不垂直x轴)当AB、CD⊥x轴时，若A、D在第一象限，B、C在第四象限，显然ADBC．∴ABCD的顶点不会都在抛物线上．10.【解析】设M(x，y)则∴16P2·

17、MA

18、2=y4＋(16P2－

19、8P)y2＋16P2=[y2＋(8P2－4P)]2＋16P2－(8P2－4P)2当y2=4P－8P2时，

20、MA

21、2最小．又设M0(x，y)，则消去P整理得2x2＋y2=2x，x∈(0，1)∴M0的轨迹方程为2x2－2x＋y2=0，x∈(0，1)11.【解析】设N(x，y)，M(x1，y1)∵A点关于M点的对称点为N,又∵点M在抛物线上∴y12=x1∴N点的轨迹方程为(y＋t)2=2x．(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2),消去x整理得y2－2ty－t2=0△=4t2＋4t2=8t2，∵t≠0∴△=8t2＞0且y1＋y2

22、=2t,y1·y2=－t2①,由AB⊥AC得,把①代入上式得12.【解析】(1)直线l的方程为y=x－a,消去y整理得：x2－2(a＋P)x＋a2=0设直线1与抛物线两个不同的交点坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)又∵y1=x1－a，y2=x2－a，∵0＜

23、AB

24、≤2P，8P(P＋2