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《高中数学第二讲直线与圆的位置关系第三节圆的切线的性质及判定定理课堂导学案新人教a版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节圆的切线的性质及判定定理课堂导学三点剖析一、切线的性质【例1】如图2-3-1,两圆为以O为圆心的同心圆,大圆的弦AB是小圆的切线,C为切点.求证:C是AB的中点.图2-3-1证明：连结OA、OC、OB,∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.又∵AC是小圆切线,C是切点,∴OC⊥AB,即OC是等腰三角形底边上的高.∴OC是AB边上的中线.∴C是AB的中点.温馨提示连结圆心、切点是解决切线问题时常用的作辅助线的方法之一.二、切线的判定【例2】如图2-3-4,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB＝30°.求证:DC是⊙O的
2、切线.图2-3-4证明：连结OC、BC,∵OA=OC,∴∠CAB=∠ACO.∴∠BOC=∠CAB+∠ACO=60°.∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形.∵BD=OB,∴BD=BC.∴∠D=∠BCD.∵∠OBC=∠D+∠BCD,∴∠BCD＝∠OBC=30°.∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°.∴DC是⊙O的切线.三、切线的性质与判定的综合运用【例3】如图2-3-6,直角梯形ABCD中,以CD为直径的圆恰好与腰AB相切.求证:以AB为直径的圆也与腰CD相切.图2-3-6思路分析：取CD、AB中点O1、O2,则O1、O2分别是两圆圆心,只需证
3、O2到CD距离等于O2A或O2B即可.证明:连结O1O2,作O2E⊥O1D于E,DF⊥O1O2于F.∵O1C=O1D,O2B=O2A,∴O1O2∥AD∥BC.∴AB⊥O1O2.∴DF=AO2.∵AB与⊙O1相切,∴O1O2=O1D.∴△O1O2E≌△O1DF.∴O2E=DF.∴O2E=O2A.∴⊙O2与CD相切于E点.各个击破类题演练1如图2-3-2,两个同心圆⊙O,大圆的弦AB和AC分别和小圆相切于点D和E.求证:DEBC.图2-3-2证明:连结OD、OE,∵AB切小圆于D,∴OD⊥AB.∴AD=BD.同理,AE=EC.∴DE是△ABC的中位线.∴DEBC
4、.变式提升1求证:一圆的两条平行切线的切点连线经过圆心.图2-3-3答案:已知:如图l1、l2分别切⊙O于A、B,l1∥l2,求证:O在AB上.证明:连结OA,并延长交l2于B′,∵l1切⊙O于点A,∴OA⊥l1.又∵l1∥l2,∴OA⊥l2,即OB′⊥l2.∴B为l2与⊙O的切点.∴OB⊥l2.但过O只有一条直线与l2垂直.∴B′与B重合.即A、O、B在一条直线上,或AB经过点O.类题演练2如图2-3-5,已知以Rt△ABC的直角边AB为直径,作⊙O与斜边AC交于点D,E为BC边上的中点,连结DE.求证:DE是⊙O的切线.图2-3-5证明:连结OD、BD.
5、∵AB是⊙O直径,∴∠ADB=90°.∴∠CDB=90°.∵E是BC中点,∴CE=EB=DE.∴∠1=∠2.∵OB=OD,∴∠3=∠4.∴∠1+∠4=∠2+∠3.∵在Rt△ABC中,∠ABC=∠2+∠3=90°,∴∠EDO=∠1+∠4=90°.∵D为⊙O上的点,∴DE是⊙O的切线.类题演练3如图2-3-7,已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点,⊙D与OA相切于点E.求证:OB与⊙D相切.图2-3-7证明:连结DE,过D作DF⊥OB,垂足为F.OB与⊙D相切于点F.
