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《高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.3基本不等式1课堂导学案新人教a版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.1.3基本不等式（1）课堂导学三点剖析一、利用基本不等式证明不等式【例1】a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c),当且仅当a=b=c时取等号.思路分析:由于a4+b4≥2a2b2,说明了运用基本不等式,可以找到左式与中间式的关系.同样地,a2b2+b2c2≥2ab2c,而ab2c就是右式中的一项.证明：∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2a2c2,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4≥
2、a2b2+b2c2+c2a2.又∵a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2bc2a,c2a2+a2b2≥2a2bc,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+bc2a+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).以上各式当且仅当a=b=c时取等号.温馨提示在证明不等式的一些题目时,若有和大于或等于积的形式,可考虑用均值不等式来证明,有时需要多次使用基本不等式才能解决问题.本题中,字母a,b,c是可轮换的(即a→b,b→c,c→a式子不变),这称为轮换对称式,轮换对称
3、式的证明都可用此技巧.各个击破类题演练1已知a,b,c∈(0,+∞),求证:≥a+b+c.证明:∵a,b,c∈(0,+∞),∴=2a.①同理,=2b,②=2c,③∴()+(a+b+c)≥2(a+b+c).∴≥a+b+c.变式提升1设a,b,c为不全相等的正数,求证:>3.证明:左式=(+)+()+()-3,∵+≥2,)≥2≥2,又a,b,c为不全相等的正数,故等号不可能同时取得,∴(+)+()+()>6.因此原不等式成立.二、利用基本不等式证明条件不等式【例2】已知x,y>0,且x+y=1,求证:(1+)(1+
4、)≥9.思路分析:最突出的一点,要证的不等式中有四个“1”,而已知条件x+y=1,又一个“1”,如何用好这些“1”呢?证法一:(1+)(1+)=1+++=1+=3+=3+=5+2()≥5+2×=9.∴原不等式成立.证法二：(1+)(1+)=∴原不等式成立.证法三:设x=cos2θ,y=sin2θ,θ∈(0,),∴(1+)(1+)=(2+tan2θ)(2+cot2θ)=5+2(tan2θ+cot2θ)≥5+2×=9.温馨提示在运用基本不等式时,活用“1”,巧用“1”,解法就会非常简洁.类题演练2已知x>0,y>0
5、,且x+4y=1,求证:(1)=8+;(2)≥16.证明:(1)∵x+4y=1,∴=8+,即=8+;.(2)法一:∵x>0,y>0,且由(1)可知=16,即有≥16.法二:∵x>0,y>0,x+4y=1,∴≥,x+4y≥.∴()(x+4y)≥16·=16.∴≥16.变式提升2已知a>0,b>0,a+b=1,求证:≤2.证明:∵,,∴≤(1+a++1+b+)=2,当且仅当a=b=时取等号.∴原不等式成立.三、利用基本不等式解决某些综合问题【例3】设a>0,a≠1,t>0,试比较logat与loga的大小.思路分析
6、:两式先化为同底对数loga与loga，由于t>0,应用均值不等式知≥，下一步只要运用对数函数y=logax的单调性，就可以比较它们的大小了.解:∵t>0,由均值不等式得≥,当且仅当t=1时取等号.当t=1时，loga=loga,即loga=logat;当0.当01时，函数y=logax是增函数,∴loga>loga,即loga>logat.综上所述，当01时，log
7、at≤loga.温馨提示函数式的大小比较,除了利用求差比较法或均值不等式定理比较之外,还要注意应用函数的重要性质——单调性.指数函数,对数函数因底数范围不同,而单调性不同,要注意分类讨论.类题演练3已知x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=1.试比较(-1)(-1)(-1)与8的大小关系.解析:-1=,-1=,-1=,∴(-1)(-1)(-1)==8.∵x,y,z是互不相等的正数，∴上式中取不到等号，即(-1)(-1)(-1)>8.变式提升3已知关于x的方程loga(x-3)=-1+loga(x+2)+lo
8、ga(x-1)有实根，求实数a的取值范围.解析:由得x>3.方程可化为a(x-3)=(x+2)(x-1),∴a==x-3++7≥7+当且仅当x-3=,即x=3+时取等号.故当方程有解时，a的取值范围是［7+,+∞).
