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《高中数学4.1坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系知识导航学案苏教版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.1.3球坐标系与柱坐标系自主整理1.在空间任取一点O作为______________，从O引两条______________的射线OX和OZ作为______________，再规定一个______________和射线OX绕OZ轴旋转所成的角的______________，这样就建立了一个______________.答案:极点互相垂直极轴单位长度正方向球坐标系2.设P是空间一点,用r表示OP的长度,θ表示以OZ为始边,OP为终边的角,φ表示半平面XOZ到半平面POZ的角.那么,有序数组(r,θ,φ)就称为点P的______________.这里r是_
2、_____________,φ相当于______________,θ相当于______________.当r≥0,0≤θ≤______________，0≤φ＜______________时，空间的点（除直线OZ上的点）与有序数组（r,θ,φ）(r≠0,θ≠0)建立一一对应关系.答案:球坐标矢径经度纬度π2π3.空间点P的直角坐标（x,y,z）与球坐标（r,θ，φ）之间的变换关系为：____________________________.答案:4.在平面极坐标系的基础上，增加垂直于此平面的OZ轴，可得______________.答案:空间柱坐标系5.设
3、P是空间一点，P在过O且垂直于OZ轴的平面上的射影为Q，取OQ=ρ，∠XOQ=θ，QP=z.那么，点P的柱坐标为有序数组（ρ，θ，z）.当ρ≥0，0≤θ＜2π，z∈R时，空间的点（除直线OZ上的点）与有序数组（ρ，θ，z）（ρ≠0）建立一一对应关系.高手笔记1.设空间中一点M的直角坐标为（x,y,z）,点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连结OM和OM0.如图所示，设z轴的正向与向量的夹角为θ，x轴的正向与的夹角为φ，M点到原点O的距离为r,则由三个数r,θ,φ构成的有序数组（r,θ,φ）称为空间中点M的球坐标.若设投影点M0在xOy平面上的极坐标为（ρ，
4、θ），则极坐标中的θ′就是球坐标中的φ，在球坐标中限定r≥0,0≤φ＜2π,0≤θ≤π.2.在空间球坐标系中，方程r=r0(r0为正常数)表示球心在原点，半径为r0的球面；方程φ=φ0（0≤φ0＜2π）表示过z轴的半平面，它与xOz坐标面的夹角为φ0；方程θ=θ0（0≤θ0≤π）表示顶点在原点，轴截面顶角为2θ0的圆锥面，且中心轴是z轴，θ0＜时它在上半空间，θ0＞时它在下半空间，θ0=时它是xOy平面，如图所示.3.设空间中一点M的直角坐标为（x,y,z），M点在xOy坐标面上的投影点为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为（ρ，θ），如图所示，则三个有序
5、数ρ，θ，z构成的数组（ρ，θ，z）称为空间中点M的柱坐标.在柱坐标中，限定ρ≥0，0≤θ＜2π，z为任意实数.由此可见，柱坐标就是平面上的极坐标，加上与平面垂直的一个直角坐标.名师解惑在研究空间图形的几何特征时，应该怎样建立坐标系？剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等.坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化.不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题.当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可
6、以利用这三条直线直接建立空间直角坐标系.有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题.有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系.讲练互动【例题1】已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB=14,AD=6,AA1=10,以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长
7、方体顶点C1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标.思路分析：此题考查空间直角坐标、柱坐标、球坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找出它们的相同和不同来.如图，C1点的x,y,z分别对应着CD、BC、CC1；C1点的ρ,θ,z分别对应着CA、∠BAC、CC1；C1点的（r,θ，φ)分别对应着AC1、∠A1AC1、∠BAC.解：C1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C1点的柱坐标为(,arctan,10)，C1点的球坐标为(,arccos,arctan).绿色通道另外，点B的空间直角坐标为（14，0，0），柱坐标为（14，0，0），球坐标为（14，,0）；点A
8、1的空间直角坐标为（0，0，10），柱坐标为（0，0，10），球坐
