高中数学2.3.12.3.2向量数量积的运算律学案新人教b版必修4

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1、2.3.1　向量数量积的物理背景与定义2.3.2　向量数量积的运算律1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(难点)2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系.3.掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.(重点)[基础·初探]教材整理1　两个向量的夹角阅读教材P107内容，完成下列问题.1.已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定0≤〈a，b〉≤π，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉.2.当〈a，b〉＝时，我们说向量a和向量b

2、互相垂直，记作a⊥b.在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直.3.当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向；当〈a，b〉＝或a与b中至少有一个为零向量时，a⊥b.　如图231，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为________.图231【解析】　根据向量夹角定义可知向量，夹角为∠BAC，而向量，夹角为π－∠BAC，故二者互补.【答案】　互补教材整理2　向量在轴上的正射影阅读教材P108“例1”以上内容，完成下列问题.已知向量a和轴l如图232.作＝a，过点O，A分别作轴l

3、的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称做a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.图232＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝

4、a

5、cosθ.已知

6、a

7、＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.D.【解析】　向量a在b方向上的投影为

8、a

9、cosθ＝3×cos＝.故选D.【答案】　D教材整理3　数量积的定义及性质和运算律阅

10、读教材P108“例1”下～P110内容，，完成下列问题.1.向量的数量积(内积)的定义：

11、a

12、

13、b

14、cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

15、a

16、

17、b

18、cos〈a，b〉.由定义知，两个向量a与b的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零.2.平面向量数量积的性质：(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝

19、a

20、cos〈a，e〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)a·a＝

21、a

22、2即

23、a

24、＝；(4)cos〈a，b〉＝(

25、a

26、

27、b

28、≠0)；(5)

29、a·b

30、≤

31、a

32、

33、b

34、.3.平面向

35、量数量积的运算律：(1)交换律：a·b＝b·a；(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；(3)数乘向量结合律：对任意实数λ，有λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).已知点A，B，C满足

36、

37、＝3，

38、

39、＝4，

40、

41、＝5，则·＋·＋·的值是(　　)A.－25B.25C.－24D.24【解析】　因为

42、

43、2＋

44、

45、2＝9＋16＝25＝

46、

47、2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝·＋·(＋)＝0＋·＝－2＝－25.【答案】　A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____

48、____________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问2：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问3：_________________

49、________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问4：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________[小组合作型]与向量数量积有关的概念　(1)以下四种说法中正确的是

50、________.(填序号)①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角；③△ABC中，如果·＝0，那么△ABC为直角三角形；④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2.(2)已知

51、a

52、＝3，

53、b

54、＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________.(3)已知等腰△ABC的底边BC长为4，则·＝________.【精彩点拨】　根据数量积的定义、