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《高中数学 1.3.4等比数列的综合应用2学案 北师大版必修5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4课时 等比数列的综合应用思路方法技巧命题方向 等比数列性质的应用［例1］ (1)等比数列{an}，已知a1=5，a9a10=100，求a18；(2)在等比数列{bn}中，b4=3，求该数列前七项之积；(3)在等比数列{an}中，a2=-2，a5=54，求a8.［分析］ 由等比数列的性质可知：与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积，与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.［解析］ (1)∵a1a18=a9a10,∴a18===20.(2)b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.∵b24=b1b7=b2b6=
2、b3b5,∴前七项之积为(32)3×3=37=2187.(3)解法一：a8=a5q3=a5·=54×=-1458.解法二：∵a5是a2与a8的等比中项，∴542=a8×(-2).∴a8=-1458.［说明］ 本题的求解，主要应用了等比数列的性质，若m,n,k,l∈N+且m+n=k+l，则am·an=ak·al.由此可见，在等比数列问题中，合理应用性质，可使解法简捷.变式应用1 已知{an}是等比数列，且a1a10=243,a4+a7=84,求a11.［解析］ ∵a4·a7=a1·a10,∴a4a7=243,a4=81a4=3又a4+a7=84,∴
3、，或a7=3a7=81∴q=或q=3.∴a11=3q4=3×（）4=或a11=81×34=6561.命题方向 与前n项和有关的等比数列的性质问题［例2］ 各项都是正实数的等比数列{an}，前n项的和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于（ ）A.150B.-200C.150或-200D.400或-50［答案］ A［分析］ 本题思路较为广泛，可以运用等比数列前n项和公式列方程，确定基本量a1,q后求解，也可以应用等比数列前n项和的性质求解.［解析］ 解法一：设首项为a1,公比为q，由题意知q≠±1.=10 ①由，=70 ②由以上
4、两式相除得q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去)，代入①有=-10，∴S40==-10×(-15)=150.解法二：易知q≠±1，由S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成公比为q10的等比数列,则S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10，即q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3（舍去），∴S40=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S40-S30)=10(1+2+22+23)=150.解法三：运用性质Sm+n=Sm+qmSn求解，
5、∵S30=S20+q20S10=S10+q10S10+q20S10从而有q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3(舍去).∴S40=S30+q30S10=70+8×10=150.解法四：易知q≠±1,∵=，∴q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去).又=，所以S40=150.［说明］ 在与等比数列的和有关的问题中，合理应用和的性质，可以简化运算，本题的解法二运用了当q≠-1时，数列Sm，S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等比数列，公比为qm，解法三运用了等比数列的性质：Sm+n=Sm+qmSn，解法四运用了等比数
6、列的性质：当q≠±1时，=.变式应用2 等比数列{an}的前n项和为Sn,若S5=10,S10=20,则S15等于.［答案］ 30［解析］ ∵{an}为等比数列，∴S5，S10-S5，S15-S10成等比数列，（S10-S5）2=S5（S15-S10），即100=10（S15-20），解得S15=30.探索延拓创新命题方向 错位相减法求数列的和［例3］ 求数列1，3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1的前n项和（a≠0）.［分析］ 由题设可知数列的通项公式为an=(2n-1)·an-1,数列的每一项可分成两个因式，前一个因式可构成等差数列
7、，后一个因式可构成等比数列，故可选用错位相减法求和.［解析］ 当a=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)==n2.当a≠1时，有Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)·an-1 ①,aSn=a+3a2+5a2+7a4+…+(2n-1)an ②,①-②得,Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an=1+-(2n-1)an,∴Sn=+.［说明］ 一般来说，如果数列{an}是等差数列，公差为d;数列{bn}是等比数列，公比为q,则求数列{anbn}的前n项和就可以运用错位相减法.变式
8、应用3 求数列{n·2n}的前n项和Sn.［解析］ ∵Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n ①2Sn=1·22+2·2
