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《高中数学 1.3.2等比数列的性质2学案 北师大版必修5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2课时 等比数列的性质思路方法技巧命题方向 运用等比数列性质an=am·qn-m(m、n∈N+)解题［例1］ 在等比数列{an}中，若a2=2,a6=162,求a10.［分析］ 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q,再求a10.［解析］ 解法一：设公比为q,由题意得a1q=2a1=a1=-，解得，或.a1q5=162q=3q=-3∴a10=a1q9=×39=13122或a10=a1q9=-×（-3）9=13122.解法二：∵a6=a2q4,∴q4===81,∴a10=a6q4=162×81=13122.解法三：在等比数列中，由a26=a2·a10得a10===1
2、3122.［说明］ 比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用.变式应用1 已知数列{an}是各项为正的等比数列，且q≠1,试比较a1+a8与a4+a5的大小.［解析］ 解法一：由已知条件a1>0,q>0，且q≠1,这时(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)·（1-q4）=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)>0,显然，a1+a8>a4+a5.解法二：利用等比数列的性质求解.由于(a1+a8)-(a4
3、+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).当01时，此正数等比数列单调递增，1-q3与a1-a5同为负数，∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正.∴a1+a8>a4+a5.命题方向 运用等比数列性质am·an=apaq(m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q)解题［例2］ 在等比数列{an}中，已知a7·a12=5，则a8·a9·a10·a11=（ ）A.10 B.25 C.50 D.75［分析］ 已知
4、等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数列的性质，用等比数列的性质会大大简化运算过程.［答案］ B［解析］ 解法一：∵a7·a12=a8·a11=a9·a10=5，∴a8·a9·a10·a11=52=25.解法二：由已知得a1q6·a1q11=a21q17=5，∴a8·a9·a10·a11=a1q7·a1q8·a1q9·a1q10=a41·q34=(a21q17)2=25.［说明］ 在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，若按照常规解法，往往是建立a1,q的方程组，这样解起来很麻烦，为此我们经常结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果.变式应用2 在
5、等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.［解析］ ∵a6a10=a28,a3a5=a24,∴a28+a24=41.又∵a4a8=5,an>0,∴a4+a8===.探索延拓创新命题方向 等比数列性质的综合应用［例3］ 试判断能否构成一个等比数列{an}，使其满足下列三个条件：①a1+a6=11;②a3·a4=;③至少存在一个自然数m,使am-1,am,am+1+依次成等差数列，若能，请写出这个数列的通项公式；若不能，请说明理由.［分析］ 由①②条件确定等比数列{an}的通项公式，再验证是否符合条件③.［解析］ 假设能够构造出符合
6、条件①②的等比数列{an},不妨设数列{an}的公比为q,由条件①②及a1·a6=a3·a4,得a1+a6=11 a1=a1= ，解得，或a1·a6=a6=a6=.a1=a1=从而，或.q=2q=故所求数列的通项为an=·2n-1或an=·26-n.对于an=·2n-1,若存在题设要求的m,则2am=am-1+（am+1+）,得2（·2m-1）=··2m-2+·2m+,得2m+8=0,即2m=-8,故符合条件的m不存在.对于an=·26-n,若存在题设要求的m，同理有26-m-8=0,即26-m=8,∴m=3.综上所述，能够构造出满足条件①②③的等比数列，通
7、项为an=·26-n.［说明］ 求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用.变式应用3 在等差数列{an}中，公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,……成等比数列，求数列{kn}的通项kn.［解析］ 由题意得a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，又d≠0,∴a1=d.∴an=nd.又a1,a3,ak1,ak2,……,akn,……成等比数列，∴该数列的公比为q===3.∴akn=a1·3n+1.又akn=knd,∴kn=3n+
