2018版高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式学案 新人教a版必修4

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1、3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.(重点)2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.(难点)3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.(易错点)[基础·初探]教材整理1　两角和与差的余弦公式阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cos

2、αcosβ－sinαsinβα，β∈Rcos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于________.【解析】　逆用两角和的余弦公式可得cos75°cos15°－sin75°sin15°＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.【答案】　0教材整理2　两角和与差的正弦公式阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题.1.公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R2.重要结论－辅助角公式y＝asinx＋

3、bcosx＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cosθ＝，sinθ＝.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立.(　　)(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立.(　　)(4)sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°.(　　)【解析】　(1)√.根据公式的推导过程可得.(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sinα－sinβ.(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(

4、α＋β)＝sinα＋sinβ成立.(4)√.因为sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin54°cos24°－cos54°sin24°＝sin(54°－24°)＝sin30°，故原式正确.【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√教材整理3　两角和与差的正切公式阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题.名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠－1判断(正确的

5、打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立.(　　)(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立.(　　)(3)tan(α＋β)＝等价于tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ).(　　)【解析】　(1)√.当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan0＋tan，但一般情况下不成立.(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z).(3)√.当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tanαtanβ可得后一个式子.【答

6、案】　(1)√　(2)×　(3)√[小组合作型]灵活应用和、差角公式化简三角函数式　(1)＝(　　)A.－B.－C.D.(2)化简求值：①；②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)；③tan20°＋tan40°＋tan20°·tan40°.【精彩点拨】　(1)化简求值应注意公式的逆用.(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值.【自主解答】　(1)＝＝＝＝sin30°＝.【答案】　C(2)①原式＝＝tan(45°＋75°)＝tan120°＝－.∴原式＝－.②设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－co

7、sα＝＋－cosα＝0.∴原式＝0.③原式＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋tan20°·tan40°＝.∴原式＝.1.公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tanα·tanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β)).三者知二可表示出或求出第三个.2.化简过程中注意“1”与“tan”，“”与“tan”，“”与“cos”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.[再练一题]1.化简求值：(1)cos61°cos16°＋sin61°sin16°；