2018年高考数学二轮复习 考前专题二 函数与导数 第3讲 导数及其应用讲学案 理

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1、第3讲　导数及其应用1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点．2．利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型．3．导数与函数零点，不等式的结合常作为高考压轴题出现．热点一　导数的几何意义1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．例1　(1)(2017届山东寿光现代中学月考)过点

2、(0,1)且与曲线y＝在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为(　　)A．2x＋y－1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋2＝0D．x＋2y－2＝0答案　B解析　因为y′＝＝－，故切线的斜率k＝－，即所求直线的斜率k＝2，方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.故选B.(2)(2017届成都一诊)已知曲线C1：y2＝tx(y>0，t>0)在点M处的切线与曲线C2：y＝ex＋1－1也相切，则tln的值为(　　)A．4e2B．8eC．2D．8答案　D解析　曲线C1：y＝，y′＝.当x＝时，y′＝，切线方程为y－2＝

3、，化简为y＝x＋1.①与曲线C2相切，设切点为(x0，y0)，y′

4、＝e＝，x0＝ln－1，那么y0＝e－1＝－1，切线方程为y－＝，化简为y＝x－ln＋－1，②①②是同一方程，所以－ln＋－1＝1⇔ln＝，即t＝4，那么tln＝4lne2＝8，故选D.思维升华　(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直

5、线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练1　(1)(2017届河北省正定中学期中)已知函数f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为________．答案　3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0解析　f′(x)＝3－2sin2x＋2cos2x，f′＝3－2＝1，则a＝1，点P的坐标为，若P为切点，y′＝3x2，曲线y＝x3在点P处切线的斜率为3，切线方程为y－1＝3(x－1)，即

6、3x－y－2＝0；若P不为切点，设曲线y＝x3的切线的切点为(m，n)，曲线y＝x3的切线的斜率k＝3m2，则＝3m2.又n＝m3，则m＝－，n＝－，得切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0.∴过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.(2)(2017届云南省师范大学附属中学月考)若函数f(x)＝lnx与函数g(x)＝x2＋2x＋a(x<0)有公切线，则实数a的取值范围是(　　)A.B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞)D.(－ln2，＋∞)答案　A解析　设公切线与函数f(x)＝lnx

7、切于点A(x1，lnx1)(x1>0)，则切线方程为y－lnx1＝(x－x1)．设公切线与函数g(x)＝x2＋2x＋a切于点B(x2，x＋2x2＋a)(x2<0)，则切线方程为y－(x＋2x2＋a)＝2(x2＋1)(x－x2)，∴∵x2<0h(2)＝－ln2－1＝ln，∴a∈(ln，＋∞)，故选A.热

8、点二　利用导数研究函数的单调性1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．例2　(2017届河南息县第一高级中学段测)已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若g(x)＝f(x)＋，在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．解　(1)f′(x)＝2x－，令f′(x)

9、>0，得x>1；令f′(x)<0，得0