2019届高考数学二轮复习 专题二 导数 第4讲 导数及其应用学案

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1、第4讲　导数及其应用1.导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等．2.研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．1.若a＞1，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0，2)内零点的个数为________．答案：1解析：f′(

2、x)＝x2－2ax，由a＞1可知，f′(x)在x∈(0，2)时恒为负，即f(x)在(0，2)内单调递减．又f(0)＝1＞0，f(2)＝－4a＋1＜0，所以f(x)在(0，2)内只有一个零点．2.(2018·南通中学)已知函数f(x)＝x3－2x2＋3m，x∈[0，＋∞)．若f(x)＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．答案：解析：f′(x)＝x2－4x，由f′(x)>0，得x>4或x<0，所以f(x)在(0，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)min＝f(4)．要使

3、f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解得m≥.3.已知某生产厂家的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．答案：9解析：由题意知，x＞0，令y′＝－x2＋81＞0，解得0＜x＜9；令导数y′＝－x2＋81＜0，解得x＞9.所以函数y＝－x3＋81x－234在区间(0，9)上是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数，所以在x＝9处取极大值，也是最大值．4.已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x2＋x＋1，则与

4、f(x)，g(x)的图象均相切的直线方程是________．答案：y＝x＋1解析：因为函数f(x)＝ex与函数g(x)＝x2＋x＋1的图象有唯一公共点(0，1)，且f′(0)＝g′(0)＝1，所以它们的公切线方程是y＝x＋1.,　　　　　　　　　　　　一)函数的零点问题,　　　　1)(2018·镇江期末)已知b>0，且b≠1，函数f(x)＝ex＋bx，其中e为自然对数的底数．(1)对满足b>0，且b≠1的任意实数b，证明函数y＝f(x)的图象经过唯一定点；(2)如果关于x的方程f(x)＝2有且只有一个解，求实数b的取值范

5、围．解：(1)假设y＝f(x)过定点(x0，y0)，则y0＝ex0＋bx0对任意b>0，且b≠1恒成立．令b＝2得y0＝ex0＋2x0；令b＝3得y0＝ex0＋3x0，所以2x0＝3x0，即＝1，解得唯一解x0＝0，所以y0＝2，经检验当x＝0时，f(0)＝2，所以函数y＝f(x)的图象经过唯一定点(0，2)．(2)令g(x)＝f(x)－2＝ex＋bx－2为R上连续函数，且g(0)＝0，则方程g(x)＝0存在一个解．①当b>1时，g(x)为增函数，此时g(x)＝0只有一解．②当0

6、lnb＝ex0＝0，解得x0＝log(－lnb)．因为ex>0，0<<1，lnb<0，令h(x)＝1＋lnb，h(x)为增函数，所以当x∈(－∞，x0)时，h(x)<0，所以g′(x)<0，g(x)为减函数；当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，所以g′(x)>0，g(x)为增函数．所以g(x)极小值＝g(x0)．又g(x)的定义域为R，所以g(x)min＝g(x0)．①若x0>0，g(x)在(－∞，x0)上为减函数，g(x0)0.所以x∈(x0，ln2)时，g

7、(x)至少存在另外一个零点，矛盾．②若x0<0，g(x)在(x0，＋∞)上为增函数，g(x0)0，所以g(x)在(logb2，x0)上存在另一个解，矛盾．③当x0＝log(－lnb)＝0时，－lnb＝1，解得b＝，此时方程为g(x)＝ex＋－2＝0，由(1)得只有唯一解x0＝0，满足条件．综上，当b>1或b＝时，方程f(x)＝2有且只有一个解．(2018·扬州期末)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ax＋b，a，b∈R.(1)若不等式f(x)>x2＋

8、m对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对任意实数a，函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点，求实数b的取值范围．解：(1)由题意得m