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时间:2018-12-16
《2017-2018学年高中数学 阶段质量检测(三)数学归纳法与贝努利不等式 新人教b版选修4-5》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、阶段质量检测(三) 数学归纳法与贝努利不等式(时间:90分钟,满分120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.设S(n)=+++…+,则( )A.S(n)共有n项,当n=2时,S(2)=+B.S(n)共有n+1项,当n=2时,S(2)=++C.S(n)共有n2-n项,当n=2时,S(2)=++D.S(n)共有n2-n+1项,当n=2时,S(2)=++2.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取( )A.2 B.3C.5 D.63.已知a1=
2、,an+1=,n∈N+,则an的取值范围是( )A.(,2)B.[,2)C.(0,) D.[0,]4.用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n,不等式…>成立时,当n=2时验证的不等式是( )A.1+>B.>C.≥D.以上都不对5.用数学归纳法证明“Sn=+++…+>1(n∈N+)”时,S1等于( )A.B.C.+D.++6.已知f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,那么,下列命题总成立的是( )A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2
3、成立B.若f(4)≥16成立,则当k≥4时,均有f(k)4、为( )A.2f(k)B.k-1+f(k)C.f(k)+k D.f(k)+29.下列代数式,n∈N+,可能被13整除的是( )A.n3+5nB.34n+1+52n+1C.62n-1+1 D.42n+1+3n+210.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+)时,从k到k+1,左边需要增加的代数式为( )A.2k+1B.2(2k+1)C.D.二、填空题(本大题共有4小题,每小题5分,共20分)11.设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则M,N的5、大小关系为________(提示:利用贝努利不等式,令x=).12.若数列{an}的通项公式an=,记cn=2(1-a1)·(1-a2)…(1-an),试通过计算c1,c2,c3的值,推测cn=________.13.从1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,归纳出:1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=__________________.14.设数列{an}满足a1=2,an+1=2an+2,用数学归纳法证明an=4×2n-1-2的第二步中,设n=k(k≥1,k∈N+)时6、结论成立,即ak=4×2k-1-2,那么当n=k+1时,需证明ak+1=________________.三、解答题(本大题共有4小题,共50分)15.(本小题满分12分)用数学归纳法证明:12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1).16.(本小题满分12分)求证:++…+>,(n≥2,n∈N+).17.(本小题满分12分)利用数学归纳法证明(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.18.(本小题满分14分){an}是由非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,47、,5,….(1)求a3;(2)证明:an=an-2+2(n≥3,且n∈N+).答案1.选D S(n)共有n2-n+1项,S(2)=++.2.选C 取n0=1,2,3,4,5验证,可知n0=5.3.选B ①n=1时,a2==>,排除C,D.②an+1>an为递增数列.③可用数学归纳法证明an<2,故选B.4.选A 当n=2时,左边=1+=1+,右边==,∴1+>.5.选D 因为S1的首项为=,末项为=,所以S1=++,故选D.6.选D ∵f(k)≥k2成立时f(k+1)≥(k+1)2成立,当k=4时,f(4)=25>16=42成立.∴当k8、≥4时,有f(k)≥k2成立.7.选A 34(k+1)+1+52(k+1)+1变形中必须出现n=k时归纳假设,故变形为56·34k+1+25(34k+1+52k+1)8.选B 由n=k到n=k+1时增加的对
4、为( )A.2f(k)B.k-1+f(k)C.f(k)+k D.f(k)+29.下列代数式,n∈N+,可能被13整除的是( )A.n3+5nB.34n+1+52n+1C.62n-1+1 D.42n+1+3n+210.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+)时,从k到k+1,左边需要增加的代数式为( )A.2k+1B.2(2k+1)C.D.二、填空题(本大题共有4小题,每小题5分,共20分)11.设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则M,N的
5、大小关系为________(提示:利用贝努利不等式,令x=).12.若数列{an}的通项公式an=,记cn=2(1-a1)·(1-a2)…(1-an),试通过计算c1,c2,c3的值,推测cn=________.13.从1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,归纳出:1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=__________________.14.设数列{an}满足a1=2,an+1=2an+2,用数学归纳法证明an=4×2n-1-2的第二步中,设n=k(k≥1,k∈N+)时
6、结论成立,即ak=4×2k-1-2,那么当n=k+1时,需证明ak+1=________________.三、解答题(本大题共有4小题,共50分)15.(本小题满分12分)用数学归纳法证明:12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1).16.(本小题满分12分)求证:++…+>,(n≥2,n∈N+).17.(本小题满分12分)利用数学归纳法证明(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.18.(本小题满分14分){an}是由非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4
7、,5,….(1)求a3;(2)证明:an=an-2+2(n≥3,且n∈N+).答案1.选D S(n)共有n2-n+1项,S(2)=++.2.选C 取n0=1,2,3,4,5验证,可知n0=5.3.选B ①n=1时,a2==>,排除C,D.②an+1>an为递增数列.③可用数学归纳法证明an<2,故选B.4.选A 当n=2时,左边=1+=1+,右边==,∴1+>.5.选D 因为S1的首项为=,末项为=,所以S1=++,故选D.6.选D ∵f(k)≥k2成立时f(k+1)≥(k+1)2成立,当k=4时,f(4)=25>16=42成立.∴当k
8、≥4时,有f(k)≥k2成立.7.选A 34(k+1)+1+52(k+1)+1变形中必须出现n=k时归纳假设,故变形为56·34k+1+25(34k+1+52k+1)8.选B 由n=k到n=k+1时增加的对
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