数学与应用数学论文小多项式的性质及应用

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1、唐山师范学院本科毕业论文题目最小多项式的性质及应用学生吕艳芬指导教师孙秀娟讲师年级2010级专业数学与应用数学系别数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系2014年5月郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师孙秀娟的指导下独立撰写完成的.如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督.特此郑重声明.　　　　　　　　　　　　　　　　　毕业论文（设计）作者（签名）：年月日目录标题1摘要1序言1预备知识11.最小多项式

2、的定义及性质21.1最小多项式的定义21.2最小多项式的性质32.最小多项式的求法62.1用存在性求最小多项式62.2由矩阵的伴侣阵和不变因子求最小多项式92.3由矩阵的特征多项式和Jordan标准型求最小多项式113.最小多项式的一些应用163.1求解最小多项式及用其讨论矩阵的相似对角化16总结19参考文献20致谢21外文页22I最小多项式的性质及其应用吕艳芬摘要本文讨论了最小多项式的一些性质，总结了求最小多项式的一般方法,例如用最小多项式的存在性、特征多项式、不变因子和Jordan标准型，等等来求最

3、小多项式。扩展了其在矩阵相似和Jordan标准型中的应用。关键词零化多项式最小多项式特征多项式不变因子对角矩阵序言矩阵的最小多项式在矩阵相似、Jordan标准型、矩阵函数和矩阵方程中都有很重要的应用，故对最小多项式的性质及应用的研究很重要，但在文献[1]中，对最小多项式的性质讨论较少，对它的应用介绍也较少，揭丹在文献[2]中讨论了对称阵的最小多项式的性质及其应用，马红权、宋俊俊在文献[7]中讨论了方阵的最小多项式性质及其应用，等等。虽然这些文献都讨论了最小多项式的性质，但都不全面，对它应用的介绍也较为模

4、糊。为了更好的理解最小多项式的性质及它的应用，本文系统的讨论了在数域F上矩阵最小多项式的性质，列举了最小多项式在矩阵对角化方面的应用。本文约定，以下讨论的矩阵A都是数域上的n阶矩阵。预备知识定义1形式为的矩阵称为Jordan块，其中是复数，由若干个Jordan块组成的准对角矩阵称为Jordan矩阵，其一般形状如其中22并且中有一些可以相等。哈密顿—凯莱定理设A是数域F上一个n×n矩阵，是A的特征多项式，则.定义2对数域F上的一个多项式称矩阵为多项式的伴侣阵。定理1设A为数域F上的一个n阶矩阵，为数域F上

5、的一个n维列向量，令，，，则1）可通过一系列初等行变换，把矩阵化为矩阵其中“*”表示省去不写的数：2）向量关于矩阵A的最小多项式为1.最小多项式的定义及性质1.1最小多项式的定义定义3已知，变量的多项式为则称是A的矩阵多项式。和A同为数域上的n阶方阵。22定义4给定矩阵，如果多项式满足,则称是A的零化多项式。定义5矩阵A的次数最低的首项系数为1的零化多项式称为A的最小多项式，记为。1.2最小多项式的性质性质1任意矩阵A都存在最小多项式。证明　设为任一n阶矩阵，A可看作维向量空间中的向量，进而矩阵序列可看

6、作为中的一个向量组，由哈密顿—凯莱定理可知，它们一定是线性相关的。令m为使矩阵序列是线性相关的最小次数，即线性相关，则存在m+1个不全为零的数使得其中若，则，其中不全为零，这与线性无关矛盾，故。记，，则如果定义多项式为那么一定有且没有次数小于的非零多项式使A零化，故为A的最小多项式，所以任意n阶矩阵都存在最小多项式。22性质2任意矩阵A的最小多项式是唯一的。证明：设和都是A的最小多项式，根据带余除法，可表成其中或，于是.因此。由最小多项式的定义，，即。同理可证。因此与只能相差一个非零常数因子。又因与的首

7、项系数都是1，所以性质3设是矩阵A的最小多项式，那么以A为根的充分必要条件是整除。由性质3可知矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因式。当A的所有特征值都互异时，A的最小多项式就是的特征多项。性质4数域F上n阶矩阵A的最小多项式与A的特征多项式在F中有相同的根（重数可以不同）。推论1　设A是数域F上的n阶矩阵，数域E包含数域F。则A的最小多项式与A的特征多项式在数域E中有相同的根（重数可以不同）。推论2　设A是数域F上的矩阵，数域E包含数域F，则如果是数域F上的矩阵A的最小多项式，那么把看成数域E上

8、的矩阵，它的最小多项式仍然是。性质5　相似矩阵有相同的最小多项式，但最小多项式相同的矩阵不一定相似。证明：事实上，如果矩阵A与B相似，则可写成，那么对任一多项式，。因此，，这说明相似矩阵有相同的最小多项式。反之不然，即最小多项式相同的矩阵不一定相似。下面举例说明。已知解：对于矩阵A22对于矩阵B故A与B的最小多项式都等于。又因为A的特征多项式为B的特征多项式为所以A与B不相似，即最小多项式相同的矩阵不一定相似。性质6级Jordan块的最小多