【数学论文范文】几类特殊函数的性质及应用

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1、【数学论文范文】几类特殊函数的性质及应用【摘要】本文将对数学分析中特殊函数，诸如伽玛函数、贝塔函数贝塞尔函数等超几何数列函数，具有特殊的性质和特点，在现实中得到大量的运用的函数。本文主要以简单介绍以上三种特殊函数性质，及其在其它领域的应用，诸如利用特殊函数求积分，利用特殊函数解相关物理学问题。本文首先以回顾学习几类常见特殊函数概念、性质，从而加深读者理解，然后以相关实例进行具体分析，从而达到灵活应用的目的。【关键词】特殊函数；性质；应用；伽马函数；贝塔函数；贝塞尔函数；积分　　1.引言　　特殊函数是指一些具有特定性质的函数

2、，一般有约定俗成的名称和记号，例如伽玛函数、贝塔函数、贝塞尔函数等。它们在数学分析、泛函分析、物理研究、工程应用中有着举足轻重的地位。许多特殊函数是微分方程的解或基本函数的积分，因此积分表中常常会出现特殊函数，特殊函数的定义中也经常会出现积分。传统上对特殊函数的分析主要基于对其的数值展开基础上。随着电子计算的发展，这个领域内开创了新的研究方法。　　　　由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。本文归纳出特殊函数性质、利用特殊函数在求积分运算中的应用、特殊函数在物理学科方面的应用，利用Matl

3、ab软件画出一些特殊函数的图形，主要包含内容有：定义性质学习，作积分运算，物理知识中的应用，并结合具体例题进行了详细的探究和证明。特殊函数定义及性质证明特殊函数学习是数学分析的一大难点,又是一大重点,求特殊函数包含很多知识点,有很多技巧,教学中可引导学生以探究学习的方式进行归纳、总结;一方面可提高学生求函数极限的技能、技巧;另一方面也可培养学生的观察、分析、归类的能力,对学生的学习、思考习惯,很有益处。特殊函数性质学习及其相关计算，由于题型多变，方法多样，技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多

4、种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径主要在于熟练掌握特殊函数的特性和一些基本方法。下面结合具体例题来探究特殊函数相关性质及应用。2.1伽马函数的性质及应用2.1.1伽马函数的定义：伽马函数通常定义是：这个定义只适用于的区域，因为这是积分在t=0处收敛的条件。已知函数的定义域是区间，下面讨论Г函数的两个性质。2.1.2Г函数在区间连续。事实上，已知假积分与无穷积分都收敛，则无穷积分在区间一致收敛。而被积函数在区间D连续。Г函数在区间连续。于是，Г函数在点z连续。因为z是区间任意一点，

5、所以Г函数在区间连续。2.1.3，伽马函数的递推公式此关系可由原定义式换部积分法证明如下：这说明在z为正整数n时，就是阶乘。由公式（4）看出是一半纯函数，在有限区域内的奇点都是一阶极点，极点为z=0,-1,-2,...,-n,....2.1.4用Г函数求积分2.2贝塔函数的性质及应用2.2.1贝塔函数的定义：函数称为B函数（贝塔函数）。已知的定义域是区域，下面讨论的三个性质：贝塔函数的性质2.2.2对称性：=。事实上，设有2.2.3递推公式：，有事实上，由分部积分公式，，有即由对称性，特别地，逐次应用递推公式，有而，即当时

6、，有此公式表明，尽管B函数与Г函数的定义在形式上没有关系，但它们之间却有着内在的联系。这个公式可推广为2.2.4由上式得以下几个简单公式：2.2.5用贝塔函数求积分例2.2.1解：设有（因是偶函数）例2.2.2贝塔函数在重积分中的应用计算，其中是由及这三条直线所围成的闭区域，解：作变换且这个变换将区域映照成正方形：。于是通过在计算过程中使用函数，使得用一般方法求原函数较难的问题得以轻松解决。2.3贝塞尔函数的性质及应用2.3.1贝塞尔函数的定义贝塞尔函数：二阶系数线性常微分方程称为λ阶的贝塞尔方程，其中y是x的未知函数，λ

7、是任一实数。2.3.2贝塞尔函数的递推公式在式（5）、（6）中消去则得式3，消去则得式4特别，当n为整数时，由式（3）和（4）得：以此类推，可知当n为正整数时，可由和表示。又因为以此类推，可知也可用和表示。所以当n为整数时，和都可由和表示。2.3.3为半奇数贝塞尔函数是初等函数证：由Г函数的性质知由递推公式知一般，有其中表示n个算符的连续作用，例如由以上关系可见，半奇数阶的贝塞尔函数（n为正整数）都是初等函数。2.3.4贝塞尔函数在物理学科的应用：频谱有限函数新的快速收敛的取样定理，．根据具体问题，利用卷积的方法还可以调节

8、收敛速度，达到预期效果，并且计算亦不太复杂。由一个函数的离散取样值重建该函数的取样定理是通信技术中必不可少的工具，令称为的Fourier变换。它的逆变换是若存在一个正数b，当是b频谱有限的。对于此类函数，只要取样间隔，则有离散取样值（这里z表示一切整数：0,)可以重建函数，这就是Shannon取样定理。