数学与应用数学毕业论文___关于最小多项式的性质研究及其应用

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1、关于最小多项式的性质研究及其应用何小燕摘要本文利用矩阵多项式讨论了最小多项式的某些性质，得到计算最小多项式的一种可行方法，并以最小多项式为工具解决一些有关矩阵和线性变换的问题，其方法简单易懂.关键词最小多项式零化多项式矩阵函数矩阵多项式0引言矩阵的最小多项式在矩阵相似、若当标准型、矩阵函数和矩阵方程中都有很重要的应用，于是最小多项式的性质也极其重要，但在文献[4]中，对最小多项式的性质讨论较少，对它的应用也较少的介绍，丘维声在文献[1]中讨论了线性变换的最小多项式及应用，而史荣昌、魏丰编在文献[2]中讨论的是在复数域

2、上矩阵最小多项式的性质，这些文献都只讨论了最小多项式的一小部分性质，对它的应用也是较为模糊.为了更好的理解最小多项式以及它的应用，本文较系统的讨论了矩阵的最小多项式在数域F上的一些性质，并将它在矩阵对角化及矩阵函数方面的应用例举出来，具有很好的使用性，且使它的性质及应用更加易懂而明了.本文约定，以下讨论的矩阵A都是数域上的n阶矩阵.1预备知识在文献[1]中定义了域F上线性空间V的一个线性变换的最小多项式，它是线性变换的所有零化多项式中次数最低且首相系数为1的那个零化多项式是线性变换的最小多项式，记为.定理线性空间V上

3、的线性变换的最小多项式是唯一的.定理设是域F上线性空间V的线性变换，中的多项式是A的零化多项式当且仅当是的最小多项式的倍式.定理设是域F上有线维线性空间V上的线性变换，则的最小多项式与特征在F中有相同的根（重数可以不同）.引理1是维线性空间V上的线性变换.(1)若在V的某基下的矩阵是某多项式的伴侣阵，则的最小多项式是；(2)设的最高次的不变因子是，则的最小多项式是.2最小多项式的定义及其性质由上述线性变换最小多项式的定义及性质可以类似的定义矩阵A的最小多项式，为了引出矩阵A的最小多项式的定义，首先给出数域上矩阵A的多

4、项式定义.定义已知和变量的多项式则称是A的矩阵多项式.和A同为数域上的n阶方阵.定义给定矩阵，如果多项式满足,则称是A的零化多项式.定义3矩阵A的次数最低的首项系数为1的零化多项式称为A的最小多项式，记为.定理设，则(3)A的任一零化多项式都能被整除；(4)A的最小多项式是唯一的；(5)相似矩阵的最小多项式相同.引理2相似矩阵有相同的最小多项式，但最小多项式相同的矩阵不一定相似.如A与B的最小多项式都等于，但是它们的特征多项式不同，因此和不是相似的.定理复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根.

5、引理3数域F上级矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式是F上互素的一次因式的乘积.定理设A是一个准对角矩阵并设的最小多项式为，的最小多项式为,那么A的最小多项式为，的最小公倍式.引理4设,分别是的最小多项式，则A的最小多项式是的最低公倍式.证明：设是A的最小多项式，则于是，即是的零化多项式，因此是的公倍式.另一方面，若是的最小公倍式，则，若不是的公倍式，则.证毕引理5级若尔当块的最小多项式是.定理7矩阵的最后一个不变因子即为其最小多项式.推论1域F上n阶矩阵A的最小多项式与A的特征多项式在F中有相同的根（

6、重数可以不同）.注：虽然，最小多项式和特征多项式的根相同，但由于重数不一定相同，所以最小多项式不一定就是特征多项式推论2设A是域F上的阶矩阵，域E包含F.则A的最小多项式与A的特证多项式在E中有相同的根（重数可以不同）.推论3设A是F域上的矩阵，域E包含域F，则如果是F域上的矩阵A的最小多项式，那么把A看成E域上的矩阵，它的最小多项式仍然是.引理6设A是上的n阶矩阵.(6)若矩阵A是某多项式的伴侣阵，则A的最小多项式是；(7)设A的最高次的不变因子是，则A的最小多项式是.证明：(6)设则A的不变因子为，.将分解为：则

7、A的初等因子为，于是A的若尔当标准形为，其中由于相似矩阵有相同的最小多项式，故得A最小多项式为从而A的最小多项式为.(7)A的最高次的不变因子就是A的第个不变因子，于是，由不变因子的性质可知，又根据非常数不变因子可以得到矩阵A的有理标准形，由(6)的结果知A的最小多项式为，故A的最高次的不变因子就是A的最小多项式.由引理6可得到计算n阶矩阵A的最小多项式的一种计算方法，即计算以矩阵A为伴侣阵的多项式，则就是矩阵A的最小多项式，还可以得出另一种计算方法就是计算A的最高次的不变因子，此不变因子就是矩阵A的最小多项式。3最

8、小多项式的一些应用3.1用最小多项式研究线性变换的矩阵表示线性变换的最小多项式在研究线性变换的最简单形式的矩阵表示起着十分重要的作用.下面的例题就利用了这一性质来解决矩阵的问题.例1设都是域上维线性空间上的线性变换，证明：如果都可以对角化，且它们两两可交换，那么中存在一个基，使得在此基下的矩阵都是对角矩阵.证明：对线性空间的维数作第二数学归纳法