的规范形由 所唯一确定.doc

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1、专业班级：姓名：学号：…………………………密………………………………封………………………………线…………………………河南理工大学2010—2011学年第2学期专业班级：姓名：学号：…………………………密………………………………封………………………………线…………………………《高等代数》试卷（A）总得分阅卷人复查人考试方式本试卷考试分数占学生总评成绩比例闭卷80%得分一、填空：（每小题4分，共40分）1．复二次型的规范形由　　　　　　所唯一确定.2．已知为R上的线性空间，则维(V）＝　　　　　.3．两个有限维线性空间同构的充要条件是　　　　．4．设n阶矩阵的全体特征值为，为任

2、一多项式，则的全体特征值为　　　　　　　　　　　　.5．设为数域P上秩为的n阶矩阵，定义n维向量空间的线性变换为　则＝　　　，＝　　　.6．矩阵的全体特征值的和等于　　　　　，而全体特征值的积等于　　　　　.7．在中，由基到基的过渡矩阵为　.8．已知是一个正交矩阵，那么＝　　　　，＝　　　　　.9．设，若A的初等因子为：则A的若当标准形为　　　　　　　　　　.10．设有的线性变换，则在基下的矩阵为.得分二、选择题（每小题5分，共20分）1.设是数域上线性空间的线性变换，是的子空间，如果对于中任意向量，有A，则称是A的　　　子空间.（A）非平凡；（B）不变；（C）核；（D）零

3、.2．已知是数域中的一个固定的数，而是的一个子空间，则＝　　　.（A）；（B）；（C）；（D）.3．若与是同一线性变换在两个不同基下的矩阵，则下列条件成立的是（A）存在可逆矩阵，使；（B）存在正交矩阵，使；（C）存在可逆矩阵，使；（D）存在可逆矩阵，使4.欧氏空间的线性变换A称为正交变换是指：对任意的，有　　　（A）；（B）；（C）；（D）.得分二、计算与证明：（共40分）1．（7分）设是数域上的2级全体方阵所成的线性空间，定义的一个变换如下：（1）证明：是线性变换；（2）求在基下的矩阵；2．（6分）若是一个n阶矩阵，且，证明A的特征值只能是0和1.3．（7分）设是数域上的

4、2级全体方阵所成的线性空间证明:是的子空间，并求的维数和一组基.4．（10分）判定二次型的正定性.5．（10分）设是4维欧氏空间的标准正交基，，其中，求的正交补.答案一、填空：（每小题4分，共40分）1）矩阵的秩；2）4；3）相同的维数4）,5)6)6）7)8)9)10)二、选择题（每小题5分，共20分）1)(B);2)(B);3)(C);4)(B);三、计算与证明：（共40分）1．（7分）证明：（1）令，则那么，所以是线性变换.（2）类似有设在基下的矩阵为B，则2.证明设为A的任一特征值，为属于的特征向量，则所以有又，则有，所以而，则所以或3.证明则所以W是的子空间.所以

5、W的维数是2，一组基为4．解二次型的矩阵为设A的第k阶顺序主子式，则所以正定5．（10分）解：设则有方程组的基础解系为令则