由方程所确定的函数的导数

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1、一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数§2.4由方程所确定的函数的导数三、相关变化率一、隐函数的导数显函数与隐函数形如yf(x)的函数称为显函数例如ysinxylnxex都是显函数由方程F(xy)0所确的函数称为隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化例如方程xy310确定的隐函数为31xy-=.提示:例1求由方程y22xy90所确定的隐函数y的导数2yy2y2xy0即(yx)yy隐函数的求导法把方程两边分别对x求导数然后从所得的新的方

2、程中把隐函数的导数解出.一、隐函数的导数方程中每一项对x求导得解(xy)y+xy.(y2)2yy,从而例2求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y

3、x0因为当x0时从原方程得y0所以5y4y2y121x60把方程两边分别对x求导数得解法一5y4y2y121x60根据原方程当x0时y0将其代入上述方程得2y10从而y

4、x005把方程两边分别对x求导数得解法二例2求由方程y52yx3x7

5、0所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y

6、x0解例3求曲线在点处的切线方程和法线方程方程两边求导数得于是在点处y1所求切线方程为即所求法线方程为即xy0解上式两边再对x求导得方程两边对x求导得的二阶导数例4求由方程所确定的隐函数yy1xeyyeyxeyy于是.yf(x)[lnf(x)]对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数此方法是先在yf(x)的两边取对数然后用隐函数求导法求出y的导数设yf(x)

7、两边取对数得lnylnf(x)两边对x求导得对数求导法例5求yxsinx(x>0)的导数解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.解法一上式两边对x求导得两边取对数得lnysinxlnxyxsinxesinx·lnx上式两边对x求导得说明严格来说本题应分x4x12x3三种情况讨论但结果都是一样的例6求函数)4)(3()2)(1(----=xxxxy的导数.先在两边取对数得+---xlny21=[ln(x1)ln(x2)-ln(x3)-ln(-4)],解二、由参

8、数方程所确定的函数的导数设xj(t)具有反函数tj-1(x)且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yy[j-1(x)]若xj(t)和yy(t)都可导则解所求切线的斜率为切线方程为切点的坐标为例7求曲线在处的切线方程即再求速度的方向设a是切线的倾角则轨道的切线方向为于是抛射体在时刻t的运动速度的大小为x(t)=v1y(t)=v2-gt求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向速度的水平分量与铅直分量分别为先求速度的大小解例8抛射体运动轨迹的参数方程为提示:讨论:已知xj(t

9、),yy(t)如何求y对x的二阶导数y?的函数yf(x)的二阶导数例9解(t2npn为整数)三、相关变化率设xx(t)及yy(t)都是可导函数而变量x与y间存在某种关系从而变化率与间也存在一定关系这两个相互依赖的变化率称为相关变化率相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系以便从其中一个变化率求出另一个变化率例10一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升其速度为140m/min(分)当气球高度为500m时观察员视线的仰角增加率是多少？解设气球上升t(秒)后其高度为h

10、观察员视线的仰角为则500tanh=a.又当h500(米)时sec22500m500m)气球观察员上式两边对t求导得()/已知140=dtdh米秒.例10一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升其速度为140m/min(分)当气球高度为500m时观察员视线的仰角增加率是多少？解设气球上升t(秒)后其高度为h观察员视线的仰角为则500tanh=a.上式两边对t求导得已知140=dtdh(米/秒).又当h500(米)时sec22将已知数据代入上式得度秒14.050070=

11、=dtda(弧/).即观察员视线的仰角增加率是每秒014弧度所以总结任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键:正确分解初等函数的复合结构.