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1、河南理工大学2010—2011学年第2学期《高等代数》试卷(A)总得分阅卷人复查人考试方式本试卷考试分数占学生总评成绩比例闭卷80%填空：(每小题4分，共40分)1.复二次型/(西，吃，，兀)的规范形由所唯i确定.2.己知U=｛⑺+勿,c+旳)0,hG〃W尺｝为R上的线性空间，则维(V)=.3.两个有限维线性空间同构的充要条件是.4.设n阶矩阵A的全体特征值为&，易，，人，/(Q为任一多项式，则/(A)的全体特征值为.5.设4为数域P上秩为厂的〃阶矩阵，定义〃维向量空间P"的线性变换为则dimmer*(0))=,dim(cr(P"))=6.矩阵A=(ai
2、j)nyn的全体特征值的和等于,而全体特征值的积等7.在尸屮，由基＜斫=(1,0,0,0)沪(0丄0,0)到基＜^3=(0,0,1,0)6=(0,0,0,1)77严(2,1,-1,1)弘=(0,3,1,0)///、的过渡矩阵为〃3=(5,3,2,1)Z=(6,6,1,3)8.已知4是一个正交矩阵，那么犷=,
3、A
4、=9.设eC8x8,若A的初等因子为：（2—1尸,（兄一，（几+Z）3则A的若当标准形为10.设有/?'的线性变换<7（兀］,^2,兀3）=（X1+兀3,2花一兀3，西一兀2），V（X19X2,X3）€R，则o■在基岂=（1,（）,（））宀=（（
5、）」,（））,6=（（），（）」）下的矩阵为二、选择题（每小题5分，共20分）1.设A是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的子空间，如果对于W中任意向量有则称W是M的子空间.（A）非平凡；（B）不变；（C）核；（D）零.2.己知d是数域P中的一个固定的数，而W={（d,兀2，,x/?）
6、xzgP,z=2,“}是P"的一个子空间，则.（A）tz=1；（B）a=Q；（C）qhI；（D）qhO.3.若4与B是同一线性变换b在两个不同基下的矩阵，则下列条件成立的是（A）存在可逆矩阵使A=TBT；（B）存在正交矩阵7^A=T~lBT；（C）存在可逆矩阵7使A
7、=TB「'；（D）存在可逆矩阵T,使A=FBT4.欧氏空间V的线性变换A称为正交变换是指：对任意的aW有二、计算与证明：（共40分）1.（7分）设P*2是数域P上的2级全体方阵所成的线性空间，定义p2x2的一个变换b如下:a(x)=1（1）证明：CT是线性变换;（2）求o■在基E1PEI2,E2PE22下的矩阵;1.（6分）若A是一个n阶矩阵，且A2=A，证明A的特征值只能是0和1.2.（7分）设P2x2是数域p上的2级全体方阵所成的线性空间证明：W是卩2边的子空间，并求W的维数和一组基.3.（10分）判定二次型/3，吃，，无”）=工兀'+工X.Xj/
8、=11口6)6)勾+如++ann7)13368)A',±l-1121J013丿1)矩阵的秩；2)4；3)相同的维数4)/(人),/(易)，，/(人),5)〃一r9)、(101)10)02-11-10,■-I1—iI®/二、选择题(每小题5分，共20分)1)(B);2)(B);3)(C);4)(B);三、计算与证明：(共40分)1.(7分)xe
9、V(J一］、证明：(1)令人=,则cr(x)=AxIj1丿那么b(x+y)=A(x+y)=ax^ay,cr(kx)=A(kx)=kax所以b是线性变换.(2)(yEn=AEn0、0>_0—(E^l，E]2,EqI,E22)[,—1<0>类似有0、10k-br-n01*0>0-10cEq=(EgE[2，E?"E22)010-1-10100-10bE[2=(E[jyE]?,£*21，E?2)ctE?]=(E[1,Ed,E?"Eq?)设b在基E1PE12,E2PE22下的矩阵为b,则2•证明设久为A的任一特征值，$为属于2的特征向量，则又A2=A,则有2^=,
10、所以(A2-2)^=0而歹工0,则(22-2)=0所以2=0或2=13.证明E=(lO]wWh0VA,BgW,A=b吗丿I。1丿,B'4+禺人w(_©+E)X/kQP,KA=何丿gW所以W是p2x2的子空间.'ab~bJa,beP]-所以W的维数是2,i组基为10、(01rlo)<0J(or<-1o>or-io；Ia,beP]4.解二次型代中花，，兀J的矩阵为设A的第k阶顺序主子式打，则5.（10分）解：设所以/（知兀2，舛）正定a=可儿+x2y2+“了3+兀样4丘“丄则有曲)勺+“°[(a,a2)=xi+x2-x3=0方程组的基础解系为(—1丄0,
11、0),(0,0,0,1)令&3=_兀+厂2，勺=乙则W丄二厶（乞,函）
