数值分析教教案20

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1、第5章求解线性代数方程组的迭代法5.1求解线性代数方程组的迭代法的基础知识5.1.1迭代法的基本概念对于阶数不太高的线性方程组，用直接法比较有效，但对于由工程技术产生的高阶方程组，若其系数矩阵是无规律稀疏阵（即矩阵的阶数较大，但零元素较多），直接法就很难解决存储问题，所以提出了用迭代思想求解线性方程组的方法。迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它需要计算机的存储单元较少，因为它可不必存储系数矩阵的零元素。迭代法的基本思想是给定方程组AX=Z?，构造一个序列{x（n）},使其收敛到某个极限向量；T，其中f是方程组的精确解。在讨论迭代法的过程中要用到向量范数、矩阵范

2、数及序列极限等概念，为此，先介绍这方面的基本知识。5.1.2向量范数向量范数是用来度量向量长度的。定义1:对/又£Rn，若有实数X与之对应，且这种对应法满足下面三个性质：1.VXe

3、

4、x

5、

6、>o,而且

7、

8、x

9、

10、=0,当且仅当X=0（非负性）。2./a&R,

11、H

12、=H*

13、

14、X

15、

16、（齐次性）。3.有

17、

18、X+K

19、x

20、

21、+

22、

23、y

24、

25、（三角形不等式），则称该实数X为向量X的范数。利用定义1中的性质3可以证明对7T，有IWI-khH。事实上，由IM=

26、

27、x-r+K

28、x-r

29、

30、+

31、

32、r

33、

34、所以，WI-M*-yll。丄VXG/r，定义：Iiu=tew叩(5-1)/=!7其中/?efl，oo)。

35、可以根据定义！验证

36、

37、X

38、

39、p满足范数定义的条件，所以

40、

41、夂

42、

43、,7为1的范数。由(5-1)式可知道，给定一个向量，它的范数定义可以有无穷多种，经常采用的范数是夕=1，p=2,p=°°时的定义。给定穴"中的X…，)T，常用的范数为:n(5-2)(5-3)(5-4)XIL=W+Ix2

44、+…+W=ZWZ=1【例5-1】计算向量X=(1,-2,4/的各种范数。解：j=1+2+4-7；X2二^/l2+(-2)2+42=V21；OO輕1，2,4}=4由向量范数的定义，可以讨论向量的收敛问题。若7T中的向量序列｛X(n)｝满足条件：进⑷-X

45、

46、=O,则称在范数

47、

48、*

49、

50、意义下收敛于尺"中的向量

51、X。1.向量范数的连续性定理：给定W中的任意向量X=(x1,x2,-.-,xJr,非负函数

52、

53、X

54、

55、为向量的任意一向量范数，则

56、X

57、

58、是X的各分量…，的连续函数。2.向量范数的等价定理：给定XgTT，对于/T上的任意两种范数H。，

59、

60、，

61、

62、/，总存在与X无关的正常数m,m,使关系式：mllxIL-llxll^-MIIXIL对一切xg尺"成立。3.在尺"中，若在某一种范数意义下向量序列收敛，则在任何范数意义下该向量序列仍收敛，即：⑷-%

63、

64、=0。这里

65、

66、•

67、

68、是向量的任意一种范数。4.在中，向量序列收敛于向量X*的充要条件为：其中x｛p，Xj分别表示X⑷和f的第个分量。5.1.3矩阵

69、范数nxnMl=max-X^OAX-=maxII中AXXXeRnXeRn则由定义可知矩阵范数具有下列性质:1.VAG7?nxw,hho,而且

70、

71、A

72、

73、=0当且仅当A=o（非负性）。2.v^e/?,有H

74、=

75、4

76、

77、a

78、

79、（齐次性）。3.VA,BGRnxn,

80、

81、A+B\<

82、

83、A

84、

85、+

86、

87、B

88、

89、（三角形不等式）。4.VXeVAg/?nxnAX

90、/=!4=札“相（2-范数）其中4ax表示ArA的最大特征值OO=max!

91、+

92、«22=7?得由:A7A=-12-123410101020AA的特征多项式为:PW=/t-10-10-102-20=A2-3（U+100解A2—30/1+100=0，得的特征值人=15+575,^2-15—5a/^。从而：A

93、

94、2“15+5$。AeRnxnAmmma~~RZ7XZ7•II.aII{AW}Rnxnj^nxnA把卜⑷-a

95、

96、=G{，}A{A^}ARnxn{A（々）}j^n

97、xnlima》、=a"lJlJ5.1.4谱半径对于尺7的上的矩阵焱，设A的特征值为毛，…，人，称为矩阵A的谱半径。【例5-3】给定A93—6—1解：特征多项式为：AhA2-8A+9，则的特征为4=4-77，a2=4+V7,从而广(^)=4+77RnX/7/?(A)

98、

99、a

100、

101、oopw