数值分析教教案20.doc

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1、第5章求解线性代数方程组的迭代法5.1求解线性代数方程组的迭代法的基础知识5.1.1迭代法的基本概念对于阶数不太高的线性方程组，用直接法比较有效，但对于由工程技术产生的高阶方程组，若其系数矩阵是无规律稀疏阵（即矩阵的阶数较大，但零元素较多），直接法就很难解决存储问题，所以提出了用迭代思想求解线性方程组的方法。迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它需要计算机的存储单元较少，因为它可不必存储系数矩阵的零元素。迭代法的基本思想是给定方程组AX=b,构造一个序列{X（"）},使其收敛到某个极限向量X*,其中F是方程组AX=b的精确解。在讨论迭代法的过程中要用到向量范数、矩

2、阵范数及序列极限等概念，为此，先介绍这方面的基本知识。5.1.2向量范数向量范数是用来度量向量长度的。定义仁对vxeR若有实数

3、

4、x

5、

6、与之对应，且这种对应法满足下面三个性质：1.X/XeRn,

7、

8、X

9、

10、>0,而且

11、

12、X

13、

14、=O,当且仅当X=0（非负性）。2.VawR,

15、

16、宓

17、

18、=

19、外凶（齐次性）。3.vx,化疋,有

20、

21、x+y

22、

23、<

24、

25、x

26、

27、+

28、

29、y

30、

31、（三角形不等式），则称该实数凶

32、为向量X的范数。利用定义1中的性质3可以证明对X/X,YeRH,有

33、

34、x

35、

36、-

37、

38、y

39、

40、<

41、

42、x-y

43、

44、o事实上，由

45、

46、x

47、

48、=

49、

50、x-y+y

51、

52、<

53、

54、x-r

55、

56、+

57、

58、y

59、

60、所以,1(nX/XeRn,定

61、义：(5-1)戶1丿其中pe［l9oo)o可以根据定义1验证

62、

63、x

64、

65、”满足范数定义的条件，所以

66、

67、x

68、

69、〃为X的范数。由(5T)式可知道，给定一个向量，它的范数定义可以有无穷多种，经常采用的范数是0=1,P=2、p=g时的定义。给定人"中的X=(西，％2,常用的范数为:Xh="i+“2+•••+无Jx；+XjHX；=ooax｛%］口无2卜・、x}=max{Xj

70、凶冷+2+4二7；X’二712+(-2)2+42=721；OO弋習｛124｝二4由向量范数的定义，可以讨论向量的收敛问题。若中

71、的向量序列｛X®）｝满足条件：更2卜⑷—X卜0,则称｛X®）｝在范数

72、

73、•II意义下收敛于中的向量X。1.向量范数的连续性定理：给定中的任意向量X=（禹，兀2,…,£）丁，非负函数

74、

75、X

76、

77、为向量的任意一向量范数，则

78、X

79、

80、是X的各分量西宀，…心的连续函数。2.向量范数的等价定理：给定XeRn,对于上的任意两种范数ll-IL，IHI,总存在与X无关的正常数加，M,使关系式：引＜M

81、

82、X

83、

84、a,对一切XW疋成立。3.在尺"中，若在某一种范数意义下向量序列｛X（"）｝收敛，则在任何范数意义下该向量序列仍收敛，即：巴jX⑷=X*o!蚪卜⑷-X卜0。这里

85、

86、•

87、

88、是向量的任意一种范数。4.在尺

89、"中，向量序列｛%（"）｝收敛于向量X*的充要条件为：凹殍）二忆其中町）"•分别表示X⑹和对的第j个分量。5.1.3矩阵范数设AwRnxn,定义矩阵A的范数为：卜卜=maxAX

90、

91、X

92、JXeRn则由定义可知矩阵范数具有下列性质:1.VAeT?^,H>0，而且制

93、=0当且仅当A=o（非负性）。2.V«G/?,有

94、

95、创

96、=

97、外制

98、（齐次性）。3.VA,BgRnx'有

99、

100、A+B

101、

102、<

103、

104、A

105、

106、+

107、

108、B

109、

110、（三角形不等式）。4.X/XERn,X/AeRnxn,

111、

112、ax

113、

114、

115、x

116、

117、o5.VA,Be7?^?

118、H

119、<

120、

121、A

122、

123、

124、

125、B

126、

127、6.

128、

129、”

130、=1,其中/为单位阵。设AgRnxn,如果存在

131、AgR使得：AX=AX,则称2为矩阵A的一个特征值。X就是特征值久对应的特征向量。式（5-2）〜（5-4）定义的三种常用向量范数对应的矩阵范数定义为：（列范数）•z=l

132、

133、<=九宀）（2-范数）其中^max（"人）表示ATA的最大特征值。IK=^EK-

134、（行范数）7=1_12..【例5-2】给定4］求MLKLIKo解：由+。21=°,。12+a22=6,得制11=6。又由a\+B12=3,

135、。211+

136、。22〔=7,得A8—7。-13-1224得A7"A的特征多项式为：2—10—10-102-20由："A二10101020=才一302+100解22-302+100=0,得AtA的特征

137、值人=15+575,久2=15—5厉。从而：A

138、L=J15+5侖。AeRnxnrnxn•IL•II.Ammm別爪M

139、

140、A

141、

142、rnxnI-IL11-^{/)}RnxnrnxnA回冲-曙o屮）｝A｛屮）｝RttXJlaiJnxn=a；-2ooI]IJ1.1.4谱半径对于尺血的上的矩阵A,设人的特征值为人，入，…説…称p(A)二max｛入仏，…，如为矩阵4的谱半径。r931【例5-3】给定心_6_!,求0(4)。解：特征多项式为:=才一82+95的特