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《透视跟椭圆有关的最值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、透视跟椭圆有关的最值问题1•涉及椭圆焦点的最值问题例1已知椭圆的方程为+=1,Fl、F2分别为椭圆的左、右焦点，点A的坐标为（2,1）,P为椭圆上的一点，求
2、PA
3、+
4、PF21的最大值和最小值.透视角度涉及椭圆上的点与两焦点的问题（且所求式中距离系数的绝对值相等时），我们常常先运用椭圆的第一定义，再通过数形结合思想，借助绝对值三角不等式或三角形三边的关系等知识进行转化.解TP为椭圆上的一点，依题意有
5、PF1
6、+
7、PF2
8、=6,即
9、PF2
10、=6-
11、PF1
12、,A
13、PA
14、+
15、PF2
16、=6+
17、PA
18、-
19、PF
20、1.易知点Fl的坐标为（-1,0）.在AAPF1中，
21、
22、PA-
23、PF1
24、
25、<；
26、AF1
27、,可得
28、IPAHPFIIIW
29、AF1
30、=,当A、P、Fl三点共线时取等号.所以有6-W
31、PA
32、+
33、PF2
34、W6+.故所求
35、PA
36、+
37、PF2
38、的最大值为6+，最小值为6-.2.涉及椭圆准线或离心率的最值问题例2椭圆+=1（a>；b>；0）的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,求离心率的最小值.透视角度首先利用中垂线定理得到
39、PF
40、与
41、FA
42、的等量关系，然
43、后考虑到离心率e二以及椭圆的右准线方程x二，用a、c来表示
44、PF
45、与
46、FA
47、,最后通过不等关系，求出离心率的取值范围，再取其最小值即可.解根据题意有
48、PFh
49、FA
50、,
51、FAh-c,
52、PF
53、Wa+c,即a2Wac+2c2,整理得2e2+e21,于是有(2e-l)(e+1)20•又O<；e<；1,所以54、PQ
55、的最值.透视角度目标是求两点间的距离的最值，即动点(X,y)与定点P
56、(0,)的距离的最值，直接用两点间的距离公式求出
57、PQ
58、的二元函数，再利用椭圆方程进行消元(注意定义域)，然后用函数思想结合图像求得
59、PQ
60、的取值范围，从而求出最值.解由+y2二1，得x2二4(l-y2)•设点Q的坐标为(x,y),于是有
61、PQ
62、==(TWyWl).设f(y)二-3y2~3y+,对称轴y二-，f(1)=,f(-)=7,?.
63、PQ
64、E[,](如图1).IPQImin二,
65、PQ
66、max二・2.椭圆上的点与直线的距离最值问题例4在椭圆+=1上求一点M,使点M到直线x+2y-10二0的距离最
67、短，并求出最短距离.透视角度解答此类问题可以从运动学的观点出发，运用平移的思想来解决•当平移后的直线与圆相切时，求出M,再用两条平行线的距离公式求出最短距离.解设与椭圆相切、与x+2y-10=0平行的直线为x+2y+m=0.由4x2+9y2=36,x=-(2y+m),整理得25y2+16my+4m2-36=0.当A=0时，有(16m)2-4X25(4m2-36)=0,解得m2=25.由图2可知，m<；0,/.m=-5./.yM=-=,xM=..•.点M的坐标为(，),d==.存在M(,)，使点M
68、到直线x+2y-10=0的距离最短，且最短距离为.2.与距离有关的面积最值问题例5已知点A(1,)是离心率为的椭圆C：+=1(a>；b>；0)上的一点，斜率为的直线BD交椭圆于B、D两点，且A、B.D三点不重合.(1)求椭圆的方程.(2)AABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由.透视角度根据离心率与a、b、c的关系，可将方程中的a、b用c代替，再代入定点A的坐标，即可求得椭圆的方程•联立直线方程与椭圆方程，用弦长公式求出BD,再求出点A到直线的距离d,并将其
69、作为AABD的高，接着利用均值不等式即可求出面积的最大值•(绘图时应注意焦点在椭圆的y轴上)解(1)依题意有e二=，则a二c,b2=a2-c2=c2.于是可得椭圆的方程为+=1.又点A(1,)在椭圆上，将点A的坐标代入上述椭圆的方程，得c2=2,于是有a=2,b=.故椭圆的方程为+=1.(2)设直线的方程为y=x+b.由y=x+b,2x2+y2=4,得4x2+2bx+b2-4=0.由△=-8b2+64>；0,解得-2<；b<；2.设点B的坐标为(xl,yl),点D的坐标为(x2,y2),
70、则有xl+x2=-b,xlx2=.所以
71、BD
72、二•
73、xl-x2
74、=•=设d为点A到直线y=x+b的距离，则有d=.所以SAABD=-
75、BD
76、-d=•W•二，当且仅当b二±2丘(-2,2)时，AABD的面积最大，且最大值为•(作者系湖南浏阳市田家炳实验中学1201班学生)
