[理学]概率论

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1、而f(x)为X的概率密度函数，数x，有若存在简称为概率密度或密度函数.一、连续型r.v的密度函数§4连续型随机变量及其分布1、定义：设r.vX的分布函数为F(x),则称X为连续型r.v,使得对任意实一个非负可积函数f(x)，(连续型随机变量的分布函数F(x)是处处连续的)若r.vX的概率密度为：则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记为X～U(a,b)三、几种常见的连续型r.v1、均匀分布（等概率的分布）则称X服从参数为θ的指数分布.2、指数分布若r.vX的概率密度为其分布函数为正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.德莫佛德莫佛

2、最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.3、正态分布高斯如年降雨量;在正常条件下各种产品的质量指标，零件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成年男子的身高、体重；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.3、正态分布3、正态分布若r.vX的概率密度为“两头小，中间大，左右对称”其中μ,(>0)为常数，则称X服从参数为μ，的正态分布.记作X～Nμ决定了图形的中心位置，σ决定了图形中峰的陡峭程度.参数对图形的影响正态分布由它的两个参数μ,σ完全确定.正态分布此时称X服从标准正态分布.其分布函数为则X的

3、密度函数为记作X～N(0,1)任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.引理则~N(0,1)若注意：（1）表中只列出了(2)当x<0时可由如下公式求得（3）若X～N(0,1)（3）若X～N(0,1)例7若X～N(0,1),则~N(0,1)设引理若X～N例8若X～N(1,4)例9已知，求解：同理，；=0.6826；标准正态分布的上分位点设X~N(0,1),则称点z为标准正态分布X的上分位点常用数据:0<<1,若z满足z求截面面积A=的分布.例如，已知圆轴截面直径d的分布，已知t=t0时刻噪声电压V的分布，求功率W=V2/R(R为电阻）的分布.设随机变量X的分

4、布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？一、离散型随机变量函数的分布例1设X的分布律求Y=(X–1)2的分布律.X-1012p0.20.30.10.4§5随机变量函数的分布解：Y的所有可能的取值为0,1,4P{Y=0}=P{X=1}=0.1P{Y=1}=P{X=0}=0.7+P{X=2}P{Y=4}=P{X=-1}=0.2如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般，若离散型r.vX的分布律为Xx1x2…xn…pp1p2…pn…Yg(x1)g(x2)…g(xn)…pp1p2…pn…则Y=g(X)的分布律为故Y的分布律为Y014p0.10.70.2

5、则Y=X2的分布律为：X-1012p0.20.30.10.4X2p0140.30.30.4若Y=X的分布律为：二、连续型随机变量函数的分布例2设X的概率密度为求:Y=2X+8的概率密度.例3设X～N(0,1)，求Y=X2的概率密度.Y的概率密度为:fY(y)此时称Y服从自由度为1的卡方分布,Y～记作其中定理:设r.vX具有概率密度又设y=g(x)处处可导，且恒有x=h(y)是y=g(x）的反函数或恒有则Y=g(X)是连续型r.v,其概率密度为:定理5:设r.vX具有概率密度又设y=g(x)处处可导，且恒有或恒有则Y=g(X)是连续型r.v,其概率密度为:若f(x)在有限区间[a,b]外等

6、于0，此时在[a,b]上恒有或恒有则需假设例4设随机变量X的概率密度为求:的概率密度.例5、求：的概率密度.设r.vX的概率密度为1、定义：本章主要知识点：一、随机变量的概念随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母等表示随机变量是定义在样本空间上的单值实函数2、随机变量的分类随机变量离散型随机变量(连续型随机变量)所有可能取值为有限个或无穷可列个所有可能取值充满某一个区间.非离散型随机变量其中(k=1,2,…)满足性质：k=1,2,…（1）（非负性）（2）(归一性）p1p2…pk…x1x2…xk…XpiX的概率分布或分布律为：1、离散型随机变量的分布律二、离散型随机变量及其分布2、常见

7、的离散型随机变量及其分布（1）（0-1）分布或两点分布设随机变量X的分布律为则称X服从（0-1）分布。（0＜p＜1）01Xpkp1-p则称r.vX服从参数为n和p的二项分布，X~b(n,p)记作此时X服从两点分布若随机变量X的分布律为(2)二项分布当n=1时，（3）泊松分布设随机变量X的分布律为：则称X服从参数为的泊松分布,其中>0是常数,记作X~P()或X~(λ).设X是一个r.v，称为X的分布函数.三、随机变量的分布函数x为任意