[工学]自动控制原理第11讲根轨迹

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1、第四章根轨迹本章重点研究问题根轨迹法的概念、绘制根轨迹的规则、非最小相位系统的根轨迹、广义根轨迹、增加开环极零点对根轨迹的影响、用根轨迹分析系统性能。4.1引言控制系统的基本性能（稳定性、动态性能）主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点）。因此，确定闭环极点的位置，对于分析和设计系统具有重要意义。为了避免直接求解高阶系统特征方程根的麻烦，1948年W.R.Evans提出了一种图解法－－根轨迹法。根轨迹法是用于分析和设计线性定常控制系统的一种工程方法。具有简便、直观及物理概念明确等特点，因此在工程实践中获得广泛应用。考虑某一参数变化后，闭环极点运动规律（轨迹），了解闭环系

2、统动态性能的变化。利用系统的开环传递函数的零极点分布来研究闭环系统的极点的分布。G(s)H(s)+-闭环传递函数分母为零称闭环系统特征方程式4.2根轨迹法的概念1定义：当系统中某一参数(一般以开环增益为变化参数)发生变化时，系统闭环特征根在S平面上描绘的曲线称系统的根轨迹。2绘制根轨迹的条件：由得幅值条件相角条件控制系统开环传递函数系统的开环增益:K时间常数形式零点极点形式系统的开环根轨迹增益:相角条件幅值条件由开环零极点指向轨迹点的向量的方位角。(1)当从变化时，S平面上系统特征根的变化形成轨迹。每一个Kr值，按幅值条件对应于根轨迹上的n个点。(2)根轨迹上的点符合相角

3、条件，且符合相角条件的点一定在根轨迹上。故相角条件是根轨迹的充要条件。例4.1开环极点：无开环零点闭环系统特征方程式:闭环特征根:1.2.3.4.验证：规则2：根轨迹的分支数等于特征根个数(系统阶数)n规则1：根轨迹起始于开环极点，终止开环零点：利用根轨迹的性质（规则），可以绘制根轨迹的大致图形（草图），基本能满足工程需求。4.3绘制根轨迹的规则规则3:根轨迹的对称性：关于实轴对称。规则4:实轴上的根轨迹：凡右边具有奇数个零极点的线段是根轨迹。jωσ××××规则5：根轨迹的渐近线：共有（n－m）条渐近线与实轴交点与实轴夹角规则6：根轨迹的分离点、会合点和分离角：分离点在两

4、极点之间，会合点在两零点之间。闭环特征方程有重根。解出S值，取时的重根点。闭环特征方程式：分离角：根轨迹进入并立即分离规则7:根轨迹与虚轴的交点：由s=j代入闭环特征方程可得，f(j)=0，由方程可得交点的值。例4.2设单位负反馈控制系统开环传递函数：试绘制控制系统根轨迹图。解：规则1：根轨迹起始于开环极点0，－2，－4，终止开环零点，，规则2：根轨迹的分支数等于特征根个数n＝3规则3:根轨迹的对称性：关于实轴对称。规则4:实轴上的根轨迹线段是【－2，0】，（，－4】。规则6：根轨迹的分离点：舍去实轴交点与实轴夹角规则5：根轨迹的渐近线：共有3－0＝3条渐近

5、线规则7：与虚轴交点：代入实部，实部虚部劳斯表：S318S26S10S00时，S1行全为0辅助方程：6S2＋48＝0规则8：出射角和入射角：出射角对复极点,入射角对复零点。出射角和入射角都满足相角条件。出射角(入射角)：根轨迹在出射点(入射点)的切线与实轴正方向的夹角。设出射角为，入射角为在-p1点上一般式：在-z1点上一般出射角入射角例4.3取出射角（量角或计算）规则9：特征根的和与积。设闭环系统开环传递函数根轨迹趋势闭环系统特征方程式:*4.4绘制非最小相位系统的根轨迹最小相位系统：在S右半平面没有开环零点或开环极点的系统。否则为非最小相位系统。非最小相位系统（下一章

6、频率响应法进一步说明）1正反馈系统的根轨迹G(s)H(s)+＋闭环传递函数分母为零称闭环系统特征方程式得幅值条件相角条件（差别）与相角条件有关的需要修改规则：规则4:实轴上的根轨迹：凡右边具有偶数个零极点的线段是根轨迹。jωσ×××规则5：根轨迹的渐近线：共有（n－m）条渐近线与实轴夹角规则8：出射角和入射角习题设单位负反馈系统的开还传递函数试绘制根轨迹图，并计算系统产生重实根和纯虚根的值。解：求分离点或会合点产生重实根产生纯虚根特征方程式：*4.5广义（参数）根轨迹前面讨论的都是以系统的开环根轨迹增益为参数的根轨迹，实际上，也可以绘制除以外的任何参变量的根轨迹。在绘制广

7、义根轨迹时可将闭环特征方程式进行等效变换，写成类似标准形式。将特征方程式变换：解：系统开环传递函数例题已知具有两个负反馈回路系统如图所示，试以反馈系数为参变量绘制根轨迹。将特征方程式变换：求分离点或会合点可以证明，该系统的根轨迹是一段以原点为圆心，半径为3的圆弧。1.增加开环极点：重心向右移，相对稳定性变差。2.增加开环零点：重心向左移，相对稳定性变好。*4.6增加开环零极点对根轨迹的影响3.增加开环偶极子：在原点附近增加开环偶极子，系统的动态性能变化不大，稳态性能得到提高。根轨迹局限:(1)无闭环零点信息(2)表达稳态误差不