导数的意义及运算

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1、第四章导数第1讲导数的意义及运算1．函数导数的定义2．导数的几何意义和物理意义y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)(1)导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为__________________________．(2)导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是s＝s(t)，那么该物体在时刻t0的瞬时速度v＝________．如果

2、物体运动的速度随时间变化的规律是v＝v(t)，则该物体在时刻t0的瞬时加速度为a＝_______．v′(t0)s′(t0)3．几种常见函数的导数cosx－sinxexaxlna4．运算法则u′±v′u′v＋uv′(u±v)′＝_________；(uv)′＝__________；0nxn－1u′v－uv′v2f′(u)φ′(x)y′x＝y′u·u′x)C1．已知函数f(x)＝4π2x2，则f′(x)＝(A．4πxB．8πxC．8π2xD．16πxAA．1B．2C．3D．4A)D4．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是

3、(A．y＝7x＋4B．y＝7x＋2C．y＝x－4D．y＝x－2C)t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是(A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒5．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，考点1导数的概念答案：B【互动探究】BA．f′(x0)C．f(x0)B．－f′(x0)D．－f(x0)考点2导数的计算例2：求下列函数的导数：(1)y＝(x－1)(2x2－x＋4)；(2)y＝exlnx；(3)y＝1＋sinx.1－cosx求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和差积商，再利用运算法则求导数，

4、对于不具备求导法则的结构形式要适当恒等变形．如第(1)题利用积的求导法则，也可以转化成y＝(x－1)(2x2－x＋4)＝2x3－3x2＋5x－4后再求导；第(2)题利用积的求导法则；第(3)题利用商的求导法则．【互动探究】2．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()BA．e2B．eln2C.2D．ln2考点3曲线的几何意义【互动探究】A3．(2011年江西)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD.1e易错、易混、易漏7．过点求切线方程应注意该点是否为切点(1)求曲线在x＝2处的切线方程；(

5、2)求曲线过点(2,4)的切线方程．故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.1．导数的几何意义是切线的斜率，物理意义是速度与加速度，代数意义就是瞬时增长率、瞬时变化率等．2．求导的具体步骤．(1)求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(3)取极限，得导数3．过点求切线方程应注意该点是否为切点，特别提醒：求“在某点处的切线方程”时，该点为切点；求“过某点的切线方程”时，该点有可能是切点，也有可能不是切点(如例4)．1．求函数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自变量是什么，对谁求导，如f(

6、x)＝x2＋sinα自变量为x，而f(α)＝x2＋sinα自变量为α.2．通过例4的学习，要彻底改变“切线与曲线有且只有一个公共点”、“直线与曲线只有一个公共点，则该直线就是切线”这一传统误区，如“直线y＝1与y＝sinx相切，却有无数个公共点”，而“直线x＝1与y＝x2只有一个公共点，显然直线x＝1不是切线”．