让学生在探究中感受数学王国的魅力

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1、让学生在探究中感受数学王国的魅力冯丽玲山丙省潞城市第一中学047500一、案例背景随着高中新课改的不断深入，探究性学习越来越成为高中数学教学内容中不可缺少的部分，我们越来越需要在课堂上激发学生探宄的欲望，即以问题为纽带进行探究式教学，使学生把原有的知识结构和新学的内容能有机地结合起来，从而把学生引入“提出问题一一探宄问题一一发现问题一一解决问题”的学习过程中，以此来培养学生的数学探究能力、积极主动的交流创新能力和善于合作的团队精神，并及时地给予学生适当的评价，从而让探宄性学习真正走入我们的高中数学课堂。二、教学片断探究：右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家

2、赵爽的弦图设计的，配上颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表了中国人民的热情好客。师：请大家仔细观察，看能否在此图中找到一些相等关系和不等关系？同学们对这个图标（风车型）很感兴趣，马上积极主动地思考起来。教室里非常寂静，几分钟后，有同学开始举手回答。学生1:我找到了四组相等的线段：AB=BC=CD=DA,AE=BF=CG=DH,AH=BE=CF=DG,EF=FG=GH=HE。学生2:还有三角形的全等关系：△aebsabfcsacgdsAdha。我边点头边示意他们坐下。师：以上两位同学说得很好，他们分别从不同角度找到了图中的相等关系，还有别的同学有新发现吗？我们可以分小组展开讨论。教室里的气氛开

3、始活跃起来，大家指手划脚地讨论起来。几分钟后，有小组举手要发言，其他人的0光一下子聚集了起来。学生3:我们组讨论后还得到三角形面积相等关系：SAAEB=SABFC=S△CGD=SADHAo教室里其他人的眼晴一下子亮了起来，都向这个小组投来赞许的S光。师：这个小组讨论的结果非常好，所以我们在思考问题的冋吋要充分利用自己之前所学过的知识来展开思考。接下来请大家继续思考下一个问题：如在保持以上几种相等关系不变的前提下，图中三角形的大小和内部正方形的大小可以变动吗？如果可以，请大家动手在图中做出变动后的情况。教室里一下子安静下来，每位同学都拿起手中的三角板和直尺动起手来,有些同学还把书的方位扭转了来

4、观察。做完的同学纷纷举手示意自己己经完成。我在巡视中观察到大家的作图结果各有不同，并选取了三位具奋代表性的结果让大家在投影仪下观察。师：请做完的同学相互交流一下，看你们的作法有何异同，并仔细观察这三种作法，你有什么发现？教室里的气氛一下子又活跃起来，大家交互看对方的作法，并热烈地开始争论起来。学生4:里面的正方形大小不一样，II越来越小。我点了点头，表示赞许，示意他坐下。这吋，他的同桌站了起来。学生5:AE的长度在变，ii随着AE越来越短，4个全等的三角形越来越大，内部的小正方形越来越小。我听了这两位同学的描述，非常欣慰，他们己经快找到问题的实质了。师：好，非常好。请大家再思考一下，AE最长

5、是在什么位置？最短呢？如果我们把AABE的两条直角边分别设为AE=a、BE=b,则AB=a2+b2，你又会得到什么结论呢？（教室里的气氛又热烈起来）大家争着一起冋答：“E点在B点处时AE最长，在AC的中点处时AE最短。”这时有一位同学站起来。学生6:无论AE怎么变都是在大正方形的内部取值，所以S正〉4SAABE恒成立。因此，a2+b2>4×()aba2+b2〉2ab。学生7:还有，当E在AC中点时，a=b,此吋，a2+b2≥2ab。学生8:所以最后的结论就是S正≥4SAABEa2+b2≥2ab。大家的情绪一吋高涨起来，都在热切地期待着我的点评。师：经过大家共同的

6、讨论，加上最后这三位同学的回答，我们基本上把刚才的问题冋答清楚了，非常好，我为你们共同的努力而高兴。接下来请思考这个结论，我们还可以通过什么方法得到？学生9:利用我们初中学过的完全平方式(a-b)2=a2+b2-2ab≥0，可得a2+b2≥2ab，且当a=b吋，a2+b2=2ab。师：看来同学们现在基本上掌握了思考问题的方向，那么接下来我们来探究基本不等式ab≤(a+b)/2的证明过程。请同学们充分发挥自己的优势，看可以从几个方面得到证明？教室里又安静了下来，只听见纸上笔尖的沙沙声。随后大家又开始相互交流结果，顿时气氛又热烈起来。学生2:老师，可以利用刚得到的公式a2+b2

7、≥2ab进行换元得到。我们令a2=x，b2=ya=x，b=y，即可得x+y≥2xy。再令x=a，y=b，即可得ab≤(a+b)/2O学生5:还应注意换元后的字母取值范围，x≥O，y≥O,所以a+b≥2ab的条件是a≥O,b≥O。学生10:还有取等号的条件，a=b吋，a+b=abo师：大家说得都非常好，非常正确。那么除此之外还有别的思路吗？请大家结合课本P98的探