§3.1—复变函数积分的概念

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1、第三章复变函数的积分积分法是研究复变函数性质和解决实际问题的十分重要方法.解析函数的许多重要性质如“解析函数的导函数连续”及“解析函数的各阶导数存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，一般均要使用复积分.复变函数积分的概念、性质和计算法Cauchuy-Goursat基本定理、复合闭路定理Cauchuy积分公式高阶导数公式解析函数与调和函数的关系§3.1复变函数积分的概念一、积分的定义二、积分的性质三、积分存在的条件及其计算法§3.1复变函数积分的概念一、曲线的方向设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向,那么称C为有向曲线.特

2、别地：二、复变函数积分的定义定义：函数f(z)定义域为D,曲线C在D内,起点A,终点B.1）分割曲线C，A=z0,z1,...,zk-1,zk,...,zn=BAz1z1z2z2z3z3...zk-1zkzkDzkBxyO2）在每个小弧段上任取一点,小弧段向量,作乘积：Az1z1z2z2z3z3...zk-1zkzkDzkBxyO3）求黎曼和(Riemann)4)取极限(λ是最长小弧段的长度)称此极限是函数f(z)沿曲线C从A到B的积分，记为若曲线是闭合的，记为.注意：1、函数在按段光滑的曲线上连续，则积分一定存在。2、若曲线C就是x轴上的线段[a,b]，且复变函数f(z)=

3、u(x)时，dz=dx。复变函数积分就是一元实变函数定积分。三积分的性质即：方向性，线性性质，路径可加性(5)(估值定理)设曲线C的长度为L，函数f(z)在C上满足那么证明:由于两边取极限得是与两点间的距离，是两点之间弧度的长度，则四、积分存在的条件极其计算设光滑曲线由参数方程：给出，正方向为参数增加的方向，设公式法(一)：化复变函数积分为第二类曲线积分法积分存在的条件：当是连续函数而是光滑曲线时，积分是一定存在的.C先利用自变量与函数的实部虚部x,y,u,v的形式将被积分式化为第二类曲线积分，再代入曲线的表达式化成一元积分。所以有公式法(二)：化复变函数积分为对参数t的一元

4、函数积分例1解：参数方程解法直线方程为积分与路径无关又解:第二类曲线积分法积分与路径无关注：所以不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，积分值与曲线路径无关！例2解积分路径的参数方程为注1：此圆包围被积函数的奇点z0，积分与半径无关。甚至与曲线是否是圆无关。2：闭合曲线包围被积函数的奇点，积分通常非零。解(1)：积分路径的参数方程为解(2)：积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为注：本题积分值与路径有关解：的方程为由性质5知例4：设为从原点到点的直线段，试求积分绝对值的一个上界.在上，从而有而所以YOUAREFREE