复合函数的概念及复合函数的单调性

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1、复合函数的概念及复合函数的单调性一、知识点内容和要求：理解复合函数的概念，会求复合函数的单调区间二、教学过程设计　　（一）复习函数的单调性引例：函数y=f（x）在上单调递减，则函数（a＞0，且a≠1）增减性如何？　　（二）新课　　1、复合函数的概念　　如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]　　叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。　　例如：函数是由复合而成立。　　函数是由复合而成立，a是中间变量。

2、　　2、复合函数单调性　　由引例：对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。　　对任意，　　当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。　　∵当a＞1时，　　∵y=f（u）是上的递减函数∴　　∴　　∴是单调递减函数　　类似地，　　当0＜a＜1时，　　是单调递增函数　　一般地，　　定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。　　有以下四种情况：　　（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；　　

3、（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；　　（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；　　（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。　　即：同增异减。注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。 　　例1、讨论函数的单调性　　（1）（2）　　解：①　　又是减函数　　∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间

4、是[2，+∞）。　　②x∈（-1，3）　　令　　∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。　　∵是增函数　　∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。　　注意：要求定义域 　　练习：求下列函数的单调区间。　　1、（1）减区间，增区间；　　（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；　　（3）减区间，增区间；　　（4）减区间，增函数。　　2、已知求g（x）的单调区间。　　提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）　　的单调递增区间分别为（-∞，-1

5、]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。　　　　例2、y=f（x），且lglgy=lg3x+lg（3-x）　　（1）y=f（x）的表达式及定义域；　　（2）求y=f（x）的值域；　　（3）讨论y=f（x）的单调性，并求其在单调区间上相应的反函数。　　答案：（1）x∈（0，3）　　（2）（0，]　　（3）y=f（x）在上单调递增函数，在上是单调递减函数　　当x∈时，；　　当x∈时，。　　例3、确定函数的单调区间。　　提示，先求定义域：（-∞，0），（0，+∞），再由奇函数，先考虑（0，

6、+∞）上单调性，并分情况讨论。　　函数的递增区间分别为（-∞，-1]，[0，+∞）　　函数的递减区间分别为[-1，0），（0，1]。　　作业：1、求下列函数的单调区间。　　（1）（2）（3）　　2、求函数的递减区间。　　3、求函数的递增区间。　　4、讨论下列函数的单调性。　　（1）（2）　　答案：1（1）递减区间（2）递增区间（0，+∞）（3）递减区间（-∞，0]递增区间[2，+∞）　　2、[，2]3、（-∞，-2）　　4、（1）在上是增函数，在上是减函数；　　（2）a＞1时，在（-∞，1）上是减函数，在

7、（3，+∞）上是增函数；