数学分析课后习题答案1.2.pdf

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1、§2数集确界原理1、用区间表示下列不等式的解:⑴1−x−x≥0;1⑵x+≤6;x⑶(x−a)(x−b)(x−c)>0(a、b、c为常数,且a0x<0这又等价于不等式组或22−6x≤x+1≤6x6x≤x+1≤−6x前一不等式组的解为x∈[3−22,3+22]，后一

2、不等式组解为x∈[−3−22,−3+22].因此原不等式解为x∈[−3−22,−3+22][3−22,3+22]⑶令f(x)=(x−a)(x−b)(x−c),则由a0,x∈(a,b)(c,+∞);因此f(x)>0当且仅当x∈(a,b)(c,+∞);因此原不等式的解为x∈(a,b)(c,+∞).π3π2⑷当x∈[,]时sinx≥.4422π3π由正弦函数的周期性知sinx≥的解是x∈[2kπ+,2kπ+],其中k是整数2442、设S为非空数集

3、,试给出下列概念的定义:⑴数集S没有上界;⑵数集S无界.解:⑴设S为一非空数集,若对任意的M>0,总存在x∈S,使x>M,则称数集S没有00上界⑵设S为一非空数集,若对任意的M>0,总存在x∈S,使x>M,则称数集S无界003、证明:由(3)式确定的数集有上界,无下界.2证:S={yy=2−xx∈R}.2对任意的x∈R,y=2−x≤2所以数集S有上界22而对任意的M>0,取x=3+m,则y=2=x=2−3−M=−1−M∈S,111但y<−M,因此数集S无下界14、求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证.2⑴S={x

4、x<2}⑵S={xx=n!,n为自然数};⑶S={xx为(0,1)内的无理数};1⑷S=xx=1−,n=1,2,}n2解:⑴supS=2,infS=−2,以下依定义加以验证.2由x<2知−2−2,即2,−2分别是S的上、下界.εε又对任意的ε>0,不妨设ε<22,于是存在x=2−,x=−2+0122使x、x∈S，但x>2−ε，x<−2+ε，所以supS=2,infS=−20101⑵supS=+∞,infS=1,以下依定义加以验证.对任意的x∈S，1≤x<+∞，所以1

5、是S的下界.对任意的自然数n,n!<+∞,所以supS=+∞;对任意的ε>0,存在x=1!=1∈S,使x<1+ε,所以infS=111⑶supS=1,infS=0,以下依定义加以验证.对任意的x∈S，有00,取0<η<ε，且使1−η为无理数，则1−η∈S，1−η>1−ε所以supS=1；由η的取法知η是无理数，η∈S，η<ε=0+ε，所以infS=01⑷supS=1,infS=,以下依定义加以验证.211对任意的x∈S，有≤x≤1，所以1、分别是S的上、下界.22

6、11对任意的ε>0，必存在自然数k，使x=1−∈S，且x=1−>1−εkkkk22所以supS=111111又x=1−=∈S,x=1−=<+ε222221所以infS=25.设S为非空有下界数集.证明:infS=ξ∈S⇔ξ=minS证:设ξ=infS∈S,则对一切x∈S有x≥ξ,而ξ∈S,故ξ是数集S中最小的数,即ξ=minS.设ξ=minS,则ξ∈S,下面验证ξ=infS.Ⅰ对一切x∈S,有x≥ξ,即ξ是S的下界.Ⅱ对任何β>ξ,只须取x=ξ∈S,则x<β,从而ξ不是S的下界,00故ξ=infS.−−−6.设S为非

7、空数集,定义S={x−x∈S},证明:⑴infS=−supS⑵supS=−infS−−证:⑴设ξ=infS,由下确界的定义知,对任意的x∈S,有x≥ξ,且对任意的ε>0,存−在x∈S,使x<ξ+ε00−由S={x−x∈S}知,对任意的−x∈S,−x≤−ξ,且存在−x∈S,使−x>−ξ−ε,00−−由上确界的定义知supS=−ξ,即infS=−supS.同理可证⑵式成立.7.设A、B皆为非空有界数集,定义数集A+B={zz=x+y,x∈A,y∈B}.证明:⑴sup(A+B)=supA+supB⑵inf(A+B)=inf

8、A+infB证:⑴设supA=η,supB=η.12对任意的z∈A+B,存在x∈A,y∈B,使z=x+y.于是x≤η,y≤η,从而z≤η+η1212εε对任意的ε>0,必存在x∈A,y∈B且x>η−,y>η−,则存在00010222z=x+y∈A+B,使z>(η+η)−ε,000012所以sup(A+B)=η+η=supA+supB12⑵同理可