可测函数空间的完备性

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1、论文可测函数空间的完备性学生姓名:张权指导老师:宋儒瑛(太原师范学院数学系14011班山西·太原030012)【内容提要】是定义在上的Lebesgue可测函数全体构成的可测函数空间,若,引入距离,则为度量空间。在本文中,获得一个主要结论:可测函数空间中,只要每一个Cauchy函数列依测度收敛于某一可测函数,则这样的空间就是完备的。【关键词】可测函数度量空间完备性在定义积分时,对被积函数的一个基本要求是这个函数必须是可测的。所以,可测函数是一类很广泛的函数。特别是Lebesgue可测函数更为广泛。我们知道,实数域有一条重要性质,即其中任一满足柯西条

2、件的序列必收敛.这条性质称为实数域的完备性,在数学分析中有重要作用。本文试图对定义在上的Lebesgue可测函数全体构成的可测函数空间的完备性做进一步的探讨。一、可测函数空间与度量空间设为上实值的可测函数全体,为Lebesgue测度,若。对任意两个可测函数及,由于。故这是X上的可积函数。令如果把中两个几乎处处相等的函数视为中同一元;那么按上述距离成为度量空间。下面验证一下:⑴在中任取及。≥0显然。若,当且仅当,也是显然的。⑵因为,所以。5Lvkef0@163.com论文⑶注意函数(求导大于0)是单调上升的,那么,任取有从而上的实值Lebesgue

3、可测函数有由前面知,上式两边均可积分。则即,。所以,按构成度量空间。二、可测函数空间的完备性⑴定义:Cauchy点列或基本点列:在度量空间中,是中的点列,如果对于任意正数,在自然数,使得当时,必有。则称是中的Cauchy点列或基本点列。如果度量空间中每个柯西点列都收敛,那么称是完备的度量空间。⑵的完备性:设及分别是中的点列和点,则点列收敛于的充要条件是函数列依测度收敛于。证明:充分性:若依测度收敛于,则对任何的,有。对任意给定的正数(不妨设).取5Lvkef0@163.com论文,则,对于这个,由依测度收敛于,存在自然数,使时,。所以,即必要性:

4、若对任何的,由于故,且,由此可知。即依测度收敛于。【结论】可见,可测函数空间中,只要每一个Cauchy函数列依测度收敛于,则这样的空间就是完备的。三、一个例子在这个例子中,将用到一个引理:若柯西列内有收敛子序列,则它本身是收敛序列。例:可测函数空间是完备的。证明:设是柯西列,任取,有自然数,使得对每一对,都有。据此,对每一自然数可以找到一个自然数,使它满足条件:⑴.5Lvkef0@163.com论文⑵.由此得,。由Levi定理知级数在上几乎处处收敛。任取它的一个收敛点,那么对充分大的总有。因为当时,有。由于是收敛点,故产生矛盾。于是,对充分大的总

5、有。由此得,收敛。从而便知在几乎处处收敛。这相当于序列的几乎处处收敛。由于几乎处处收敛蕴含依测度收敛,那么是一依的距离收敛的序列。而它是的子列,故是依测度收敛的。从而证明了的完备性。【参考资料】[1]孙永生等《泛函分析讲义》北京师范大学出版社北京1986,5[2]侯友良等《实变函数基础》武汉大学出版社武汉2002,3[3]程其襄等《实变函数与泛函分析基础》高等教育出版社北京2002,1[4]许天周等《应用泛函分析基础》科学出版社北京2003,6TheCompletionofMeasurableFunctionSpaceNameofthestude

6、nt,ZhangquanSponsor,Songruying(MathematicsdepartmentofTaiyuanteacher’scollege,class14011Shanxi·Taiyuan030012)5Lvkef0@163.com论文【Abstract】isameasurablefunctionspacewhichdefinedontheandismadeupofthewholemeasurablefunctionofLebesgue.Ifexistsandwebringinto.Wecaninfoisametricspace.

7、Inthisthesis,wecangetanimportantconclusion“inthemeasurablefunctionspace,onlyifeachCauchyfunctionsequence,convergesatmeasurablewithmeasurement,thespaceiscomplete.”【Keywords】measurablefunction,metricspace,completion【指导教师意见】本文通过对可测函数中,距离收敛等价于测度收敛;利用这一结论,讨论一个例子,文中结构简明扼要,说理清楚,有一定的

8、基本功。但研究的结果和方法都有待创新。5Lvkef0@163.com

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