对称性在曲线积分中的应用

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1、对称性在曲线积分中的应用内容摘要:在计算对称区间上的定积分和对称区域上的重积分时，适当利用积分区域和被积函数的对称性可起到简化计算的作用。同样，在曲线积分的计算中,也可利用对称性简化计算。关键词:对称性;曲线积分;实例中图分类号:013文献标识码:A在各类《高等数学》教材中，在计算对称区间上的定积分和对称区域上的重积分时，适当利用积分区域和被积函数的对称性可起到简化计算的作用J旦在曲线积分却很少谈及。实际上，在曲线积分问题中，也有相应的问题。如果把定积分、重积分视为线积分的特殊情况，则奇偶性、对称性这些在特定情况下的性质就可以推广到一般的线积分

2、中。探讨如何利用对称性计算曲线积分及曲面积分，使得曲线（面）积分更为简便、快捷。笔者通过自己的实践经验，运用实例，提出了自己的观点,希望能够起到抛砖引玉的效果。一、曲线积分中的对称性问题定理1:设平面［或空间］曲线C由关于点P(或直线I)［或平面a］对称的曲线C1和C2组成、且设M(EC1)的对称点为M(eC2)，则例1:计算，其中C:(x2+y2)2=a2(x2-y2)。解:由于卽斤)=卜

3、、而曲线〔关于x轴、y轴对称，由定理1就只考虑第一象限部分的曲线积分即可。采用极坐标，令x=Pcos㊀,y=Psin0，于是C的方程化为:P2=a2cos

4、20令又由定理1:得。其中Cl是曲线C在第一象限的部分。例2:计算、其中2为平面z=n/2、0彡x彡n的上侧解:其中Dxy=｛（x,y）?O^x^叮｝为2在xoy平面的投影。定理2:设f（x，y）在光滑或分段光滑的平面曲线L上可积,L关于直线I对称。若f（x，y）关于直线I为奇函数,则若f（x,y）关于直线I为偶函数，则，其中L1为L在直线I一侧的部分。推论:设f（x，y）在光滑或分段光滑的平面曲线L上可积,L关于直线x=a对称。若f（2a-x、y）=-f（x,y）,贝[];若f（2a-x,y>=f（x、y）、则，其中L1为L在直线x=a—侧的

5、部分。例3:设f（x,y）函数在曲线L上连续，其中L关于直线x=a对称,弧长为s。计算。解:令，（x、y）EL、则g（2a-x、y）==-g（x，y）,即g（x,y>关于直线x=a为奇函数。由定理1的推论2知于是,二、利用积分曲线关于变量的轮换对称性定义1:设，如果，就都有P2(x2,x3/-xn,xl)e…，Pn(xn,xl"xn-2、xn-l)eQ成立，所以称区域Q关于变量xl，x2,…,xn-l,xn具有轮换对称性。定义2:设函数F(xl,x2,".,xn-l,xn)三F(x2,x3,…,xn,xl)三…三F(xn,xl,…,xn-2,

6、xn-l)则把函数F(xl,x2,…、xn-l、xn)称为关于变量xl,x2,…,xn-1'xn具有轮换对称性。定理3:对于第一类平面曲线积分，如果积分曲线L关于变量x,y具有轮换对称性，则⑴；(2)当L关于y=x对称，L在y=x的上半部分为L1,在下半部分为L2,则定理4:对于第一类空间曲线积分、如果「关于x,y、z具有轮换对称性，那么定理5:如果积分曲线r关于x，y，z具有轮换对称性，那么例4:试计算，其中(I)「:x2+y2=a2;(2)，»：积分曲线关于变量x,y具有轮换对称性，由定理6:得V积分曲线关于变量x,y，z具有轮换对称性，.

7、•.由定理7:得参考文献：[1]徐海娜.对称性在曲线积分计算中的应用D].高校理科研宄,2009,01[2]程希旺.对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用⑴.遵义师范学院学报,2007,10[3]程峰.谈对称性在曲线积分和曲面积分的运用[J].大众商务，2010,01[4]纪荣芳，娄本平.对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用P].泰山学院学报,2004,05作者简介：韩艳光(1986-)，汉族，北京人西北民族大学数学与计算机科学学院数学与应用数学专业。