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时间:2018-10-30
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1、例析“三角函数”最值问题:三角函数最值问题是三角函数的一个难点,也是历年高考的热点之一。求解三角函数的最值问题,一般先认真观察函数式,这是解题的关键,本文对六种三角函数模型进行举例,分析其结构特征,确定类型,然后根据类型,适当的进行三角恒等变形或转化,选择合适的解法,并对其解法进行探讨。 关键字:最值;sinx;cosx :G633.64:B:1672-1578(2010)11-0155-01 1、y=asinx+bcosx型 例1:求函数的最值. 解:, 故:当,即x=π时,函数ymin=-1,当,即时,函数ymax
2、=-1 点评:对于y=asinx+bcosx型的函数,先转化为的形式,再利用正弦函数的有界性进行求解,要注意所给函数的定义域。 2、(或)型 例2:求函数的最值。 解: ,故当时,函数ymin=-2,当cosx=-1时,函数ymax=7。 点评:对于(或))型,利用转化为关于sinx(或cosx)的二次函数,要注意sinx(或cosx)本身的范围。 3、型 例3:求函数的最值。 解:令t=sinx+cosx,则,故 , 故当t=-1时,函数ymin=-1,当时,函数 点评:对于型,设,利用关系式,将sin
3、xcosx用t表示出来,转化为关于t的二次函数,要注意本身的范围。 4、(或)型 例4:求函数的最值 解:要使函数有意义,需,即,函数的定义域为R 解法一: , 故函数的最大值为1,最小值为-1。 解法二:设,则,故 ,故函数的最大值为1,最小值为-1。 点评:对于(或)型,解法一:把sinx(或cosx)看做整体,利用分离常数法,分离出常数,;解法二,把sinx(或cosx)看做整体,把sinx(或cosx)解出来,由sinx(或cosx)的有界性(或)进行求解;两种解法都需要注意函数的定义域和sinx(或cosx)本身的范围。 5、
4、(或)型 例5:求函数的最值 解:,令,可以看做点P(cosx,sinx)与点C(-3,-1)连线的斜率, ∵P(cosx,sinx)在单位圆上,设过点C(-3,-1)且与单位圆相切的直线方程为, 即 或, 即函数的最大值为,函数的最小值为0。 点评:对于(或)型,先转化为(或)的形式,可以看做点P(cosx,sinx)与点C(-f,-e)连线的斜率,又P(cosx,sinx)在单位圆上,即转化为单位圆上的动点与定点连线斜率的最值问题。 6、型 例6:设,求函数的最小值。 解: ,当且仅当,即时,取等号,此时 点评:对于型以
5、及可以转化为型,要利用基本不等式来求解,注意基本不等式的三个条件“一正二定三相等”。
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