例析圆中最值问题

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1、http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网例析圆中的最值问题介志刚在解圆中的最值问题时，涉及到二元函数变量的取值范围，直接涉及到不等式的有关性质，如果不注意合理使用不等式的性质，就会造成错解，下面分析一例。例：平面上有两点A（-1，0），B（1，0），P为圆上的一点，试求的最大值与最小值，并求相应的P点坐标。错解1：把已知圆的一般方程化为标准方程得，设点P的坐标为，则点P（）在已知圆上，同理，，即。的最大值为116，最小值为4。错解2：设点P的坐标为（），则当时

2、等号成立，把代入圆的方程化简，得，解得，取较小值得，这时。的最小值为，而无最大值。错因分析1：在错解1中，产生错误的原因，在于把看成相互独立的，能同时达到最大值、最小值的量。实际上作为两个“变量”是相互联系的，它们同时受的约束，这个约束条件表示了与的最大取值区间。但是，当、成为没有联系的独立变量后，就不一定同时满足约束条件了，离开了约束条件的变量肯定会扩大解集。例如当取得最大值5时，只能等于4，不能取得最大值6；当取得最大值6时，只能等于3，不能取得最大值5。同样也不能同时取得最小值。第3页（共3

3、页）正保远程教育地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层24小时客服热线：010-82310666http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网在不等式的性质中，若“”，但反之，由“”，也就是说，的充分不必要条件。错解用的是放缩变形，不是同解变形，故改变了解集，比如：设，，可以得到：然而，由却得不出，只能得出。这是因为中的不是独立的，而是相互制约的，从而扩大了所求S的取值范围。比如，，但是是不成立的，因为，这也是由于与都受条件约束，当与离开约束条件以后，的范围明显发

4、生了改变，即扩大了取值范围。错因分析2：在错解2中，利用不等式求最值，不等式的一边必须为定值，若乘积为定值m，则当时，平方和的最小值为；若平方和为定值n，则当时，乘积的最大值为。但因错解2中乘积不是定值，因而不能应用这一方法求最值。正解：把已知圆的一般方程化为标准方程得，设点P的坐标为，则点P在已知圆上，第3页（共3页）正保远程教育地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层24小时客服热线：010-82310666http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网的最大值

5、是100，这时点P的坐标是。S的最小值是20，这时点P的坐标是（）。印象文华：不等式的性质是解题的理论基础，要深刻理解与正确应用不等式的性质，不仅要弄清每一个性质的条件和结论各是什么，还需要弄清条件和结论之间是“单向”的（如就是单向的，即条件是结论的充分不必要条件；还有，但等也是单向的）、不可逆的，还是“双向”的（如的充分必要条件，即）。在解题时若被忽视，就容易产生错误。“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来做变形，是非同解变形，这样，每应用一次这一性质，就会使

6、所求范围扩大。在使用重要不等式定理求最值时，必须具备三个条件：①在所求最值的代数式中，各变数均应是正数（如不是，则进行变号转换）；②各变数的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定值（如不是，则进行拆项或分解，务必使不等式的一端的和或积为常数）；③各变数有相等的可能。若这三个条件缺少任何一个，使用此定理解题都是错误的，也就是平常所说的“一正、二定、三相等”。圆上点的坐标（x,y）可以设成，，由此可将相关的二元问题化为一元问题，有利于问题的求解。第3页（共3页）正保远程教育地址：北京市知春路1号学院国

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