l圆中最值问题

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1、圆中的最值问题思考题（无锡市2016届高三上期末）已知圆，线段EF在直线上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A、B，使得，则线段EF长度的最大值是7、1.已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．解析：过点M的最短的弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.答案：x＋y－1＝02.　已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，

2、求：(1)的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．[自主解答]　(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.(3)x

3、2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.3.实数x、y满足x2＋(y＋4)2＝4，则(x－1)2＋(y－1)2的最大值为________________．解析：(x－1)2＋(y－1)2表示圆x2＋(y＋4)2＝4上动点(x，y)到点(1,1)距离d的平方，因为－2≤d≤＋2，所以最大值为(＋2)2＝30＋4.答案：30＋44．已知点是直线上动

4、点，过点作圆的切线，则切线长的最小值5.(2013·重庆改编)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为______6.已知的两条弦互相垂直，且交于点，则的最小值为7.已知P是直线l:上一动点,PA,PB是圆C:的两条切线,切点分别为A,B.若四边形PACB的最小面积为2,则k=______.8..已知直线y=ax+3与圆相交于A，B两点，点在直线y=2x上，且PA=PB,则的取值范围为9.A若圆x2＋y2

5、＝r2(r>0)上有且只有两个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是________．B．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即<1，解得－13

6、(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离为5.令r＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r取值范围在(4,6)之间符合题意．答案：(4,6)10．A(2015·盐城三模)若动直线y=k(x-)与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，则当△AOB的面积取得最大值时，k的值为　　　　.、B（2015届江苏苏州高三9月调研）已知圆与直线相交于两点则当的面积最大时此时实数的值为▲答案C.y=kx+3，与圆相交与A,B,若三角形ABC面积最大值为2，则a的范围12　如图，

7、设圆x2+y2=1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则线段AB长的最小值为　　　　.　(例1)【思维引导】直线与圆中有关长度的问题主要包括弦长、切线长及直线被坐标轴截得的长度等.其中弦长、切线长都可以与半径构造直角三角形来求解.【答案】2　13.(2015·南京调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-6x+5=0，点A，B在圆C上，且AB=2，则

8、+

9、的最大值是　　　　.【答案】8【解析】设弦AB的中点为M，则+=2.又圆C：(x-3)2+y2=4，AB=2，从而CM==1，因此

10、

11、max=3+1=4

12、，所以

13、+

14、max=8.◆．已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么·的最小值为　　　　.◆(满分16分)(2014·苏州模拟)已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线