圆中最值问题

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1、.与圆有关的最值(取值范围)问题引例1:【2012年武汉市中考】在坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点,且AC=2.设tan∠BOC=m,则m的取值范围是_________.引例2:【2013年武汉市元月调考试题】如图,在边长为1的等边△OAB中,以边AB为直径作⊙D,以O为圆心OA长为半径作⊙O,C为半圆弧上的一个动点(不与A、B两点重合),射线AC交⊙O于点E,BC=,AC=,求的最大值.引例3:【2013年武汉市四月调考试题】如图,∠BAC=60°,半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切,P为圆O上一动点,以P为圆心,PA长

2、为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,则线段DE长度的最大值为().A.3B.6C.D.一、题目分析:此题是一个圆中的动点问题,也是圆中的最值问题,主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法,注重了初、高中知识的衔接1.引例1:通过隐藏圆(高中轨迹的定义),寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律,转化为特殊位置(相切)进行线段、角度有关计算,同时对三角函数值的变化(增减性)进行了延伸考查,其实质是高中“直线斜率”的直接运用;2.引例2:通过圆的基本性质,寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件,结合不等式的性质进行转化,其实质是高中“柯西不

3、等式”的直接运用;3.引例3:本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点,增加为三个动点,从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度,解答中还是注意动点D、E与一个定点A构成三角形的不变条件(∠DAE=60°),构造弦DE、直径所在的直角三角形,从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系,其实质是高中“正弦定理”的直接运用;综合比较、回顾这三个问题,知识本身的难度并不大,但其难点在于学生不知道转化的套路,只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解,但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1.直观感觉,画出图形;2.特殊位置,比较结果;3.理性分析动点过程中所维系的不

4、变条件,通过几何构建,寻找动量与定量(常量)之间的关系,建立等式,进行转化.【2013年武汉市中考】如图,E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H,若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是......【2014年武汉市四月调考试题】如图,P为的⊙O内的一个定点,A为⊙O上的一个动点,射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点.若⊙O的半径长为3,OP=,则弦BC的最大值为A.2.B.3.C..D.3.【2014年武汉市元月调考试题】.如图,扇形AOD中,∠AOD=90°,OA=6,点P为弧AD上任意一点(不与点A

5、和D重合),PQ⊥OD于Q,点I为△OPQ的内心,过O,I和D三点的圆的半径为.则当点P在弧AD上运动时,的值满足()A.B.C.D.三、中考展望与题型训练方法一、找出与圆的最近点、最远点(极端位置)1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D是平面内的一个动点,且AD=2,M为BD的中点,在D点运动过程中,线段CM长度的取值范围是.2.如图,⊙O的直径为4,C为⊙O上一个定点,∠ABC=30°,动点P从A点出发沿半圆弧向B点运动(点P与点C在直径AB的异侧),当P点到达B点时运动停止,在运动过程中,过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.在

6、点P的运动过程中,线段CD长度的取值范围为;方法二、正弦定理如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径作⊙O分别交AB,AC于E,F两点,连接EF,则线段EF长度的最小值为.......方法三、柯西不等式在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,且P在第一象限内,过点P作⊙O的切线与轴相交于点A,与轴相交于点B,线段AB长度的最小值是.方法四、利用函数求最值如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,

7、连接PA、PB,设PC的长为x(2<x<4),则当x=时,PD•CD的值最大,且最大值是为.方法五、借助对称求最值如图,已知,⊙O的直径CD为4,点A在⊙O上,∠ACD=30°,B为弧AD的中点,P为直径CD上一动点,求BP+AP的最小值【题型训练】1.如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5,OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C,若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,则⊙O的半径r的取值范围为.2.如图,⊙M,⊙N的半径分别为2cm,4cm,圆心距MN=10c

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