三角函数的最值问题分类例析

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1、三角函数的最值问题分类例析三角函数的最值问题的类型很好，其常见类型有以下儿种：一、y二asinx+b（或y二acosx+b）型处理方法：利用

2、sin彳51（或］cos彳51）,即可求解，此时必须注意字母a的符号对最值的彫响。例1函数y=acosx+b（°、b为常数），若一7WyWl,求bsirtv+acos兀的最大值.剖析：函数y=«cosx+Z?的最值与。的符号有关，故需对d分类讨论.解：当g>0时，/+"'=>a=4,b=_3；-a+b=l当a二0时，不合题意；.f-6/+/?=1当a<0时，=>

3、z4当a=4,b=—3时，bsinx+acos_x=—3sinx+4cosx=5sin（兀+©）（tan—）；4当a二一4,/?二一3时，^sinx+tzcosx=—3sinx—4cosx=5sin（x+p）（tan0=亍）.・：bsin对臼cosx的最大值为5.例2已知函数f（x）=-acos2x-2^/3asinxcosx+2a+b的定义域为0,仝，值域为［-5,1］,求常数a>b的值.解：•・•/（x）=-6/cos2x-/3asin2x+2ab=-lacos2x~—+2a+b.・・・--

4、<2x——<——333当q>0时，b

5、sin（x+0）51即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦门J以化为此类。a的取值范围。例3。已知f(x)=2cos2x+V3sin2x+a,若xw分析：/(%)=2cos2x+V3sin+«=1+cos

6、2x+/3sin2x+6/=2sin〔2x+兰］+d+lI6丿c717171Iti_-/71XG0,-3——<2x+—<>-1<2sin2尢——_2_666<6丿<2、71•、［乂•..3sin当sin此时有2x兀+—4兀2xh—4ji(2x+—)=一1时,4z71、(2x+—)4—2k7T——,2_兀有Yrnin=2-V2.1吋,有Ymax2+72.x=k—7T8..3=2k7T+—,x=4-—28(kez)(kGz)故函数y取最小值2-、伍时x的集合是｛x

7、y取最大值2+V2时x的集合是｛x

8、”3x=k/T——71,83x=k7

9、T+-兀，8kez}kez}<2=>—2—2<2sinI2xH—+q+1v2<兀、a<1-2sin2x+—ci>—3—2sin2xH—I6丿注：本题综合运用三角恒等变形，三角函数的单调性，不等式的性质，函数的恒成立等知识，是一个较好的三角函数综合题。例4.求函数y二asinx+bcosx的最值。解:y=asinx+bcosx=yla2+Z?2sin(x+arctg—)a当x=2k7T+——arctg'吋，yn^x-(a，2a当x=2k71+—-arctg◎时，ymin=—Qu2+/?'2a例5.求函数y=sin2x+2

10、sinxcosx+3cos2x的最小值、最大值。并写出函数y取最值时的x的集合。解：•:y=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=V2sin(2x+—)+24从上面三例可以清晰地看出，这一类的三角函数的最值求解中运用的基本的方法是“利用辅助角法”，将较复杂的三角式转化成“Asin(ex+0)”的形式，将异名三角比化归成同名三角比。同时，也应对自变量的収值范围要仔细地考察。三、y=asin2x+bsinx+c(或y=acos'x+bcosx+c)型特点是含有sinx,cosx,并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2

11、x+cos2x=l,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数來求解。例.求函数y=cos2x-2asinx-a(a为常数)的最大值M。解：y=l-sin"x-2asinx-a=-(sinx+a)^+a^+1-a,令sinx=t,则y二(t+a)2+/+1-a,(-ll时，在t=-l时，取最大值M=a<>(2)若-l<-al,即av-1时，在匸1时，取大值M=-3ao例6.已知：定义在(—8,4］上的减函数f(

12、x),使得f(m-sinx)Vl+2m-—+cos2x4m-sinx<4m-Vl+2m>-sin2x+s