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《三角函数的最值问题分类例析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、三角函数的最值问题分类例析三角函数的最值问题的类型很好,其常见类型有以下儿种:一、y二asinx+b(或y二acosx+b)型处理方法:利用
2、sin彳51(或]cos彳51),即可求解,此时必须注意字母a的符号对最值的彫响。例1函数y=acosx+b(°、b为常数),若一7WyWl,求bsirtv+acos兀的最大值.剖析:函数y=«cosx+Z?的最值与。的符号有关,故需对d分类讨论.解:当g>0时,/+"'=>a=4,b=_3;-a+b=l当a二0时,不合题意;.f-6/+/?=1当a<0时,=>=—4,b=~3.a+b=-7、
3、z4当a=4,b=—3时,bsinx+acos_x=—3sinx+4cosx=5sin(兀+©)(tan—);4当a二一4,/?二一3时,^sinx+tzcosx=—3sinx—4cosx=5sin(x+p)(tan0=亍).・:bsin对臼cosx的最大值为5.例2已知函数f(x)=-acos2x-2^/3asinxcosx+2a+b的定义域为0,仝,值域为[-5,1],求常数a>b的值.解:•・•/(x)=-6/cos2x-/3asin2x+2ab=-lacos2x~—+2a+b.・・・--4、<2x——<——333当q>0时,b5、sin(x+0)51即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦门J以化为此类。a的取值范围。例3。已知f(x)=2cos2x+V3sin2x+a,若xw分析:/(%)=2cos2x+V3sin+«=1+cos6、2x+/3sin2x+6/=2sin〔2x+兰]+d+lI6丿c717171Iti_-/71XG0,-3——<2x+—<>-1<2sin2尢——_2_666<6丿<2、71•、[乂•..3sin当sin此时有2x兀+—4兀2xh—4ji(2x+—)=一1时,4z71、(2x+—)4—2k7T——,2_兀有Yrnin=2-V2.1吋,有Ymax2+72.x=k—7T8..3=2k7T+—,x=4-—28(kez)(kGz)故函数y取最小值2-、伍时x的集合是{x7、y取最大值2+V2时x的集合是{x8、”3x=k/T——71,83x=k79、T+-兀,8kez}kez}<2=>—2—2<2sinI2xH—+q+1v2<兀、a<1-2sin2x+—ci>—3—2sin2xH—I6丿注:本题综合运用三角恒等变形,三角函数的单调性,不等式的性质,函数的恒成立等知识,是一个较好的三角函数综合题。例4.求函数y二asinx+bcosx的最值。解:y=asinx+bcosx=yla2+Z?2sin(x+arctg—)a当x=2k7T+——arctg'吋,yn^x-(a,2a当x=2k71+—-arctg◎时,ymin=—Qu2+/?'2a例5.求函数y=sin2x+210、sinxcosx+3cos2x的最小值、最大值。并写出函数y取最值时的x的集合。解:•:y=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=V2sin(2x+—)+24从上面三例可以清晰地看出,这一类的三角函数的最值求解中运用的基本的方法是“利用辅助角法”,将较复杂的三角式转化成“Asin(ex+0)”的形式,将异名三角比化归成同名三角比。同时,也应对自变量的収值范围要仔细地考察。三、y=asin2x+bsinx+c(或y=acos'x+bcosx+c)型特点是含有sinx,cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin211、x+cos2x=l,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数來求解。例.求函数y=cos2x-2asinx-a(a为常数)的最大值M。解:y=l-sin"x-2asinx-a=-(sinx+a)^+a^+1-a,令sinx=t,则y二(t+a)2+/+1-a,(-ll时,在t=-l时,取最大值M=a<>(2)若-l<-al,即av-1时,在匸1时,取大值M=-3ao例6.已知:定义在(—8,4]上的减函数f(12、x),使得f(m-sinx)(V1+2m-—4-cos2x)4对一切实数兀均成立,求实数加的范围。解:由题意可得m-sinx>Vl+2m-—+cos2x4m-sinx<4m-Vl+2m>-sin2x+s
4、<2x——<——333当q>0时,b5、sin(x+0)51即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦门J以化为此类。a的取值范围。例3。已知f(x)=2cos2x+V3sin2x+a,若xw分析:/(%)=2cos2x+V3sin+«=1+cos6、2x+/3sin2x+6/=2sin〔2x+兰]+d+lI6丿c717171Iti_-/71XG0,-3——<2x+—<>-1<2sin2尢——_2_666<6丿<2、71•、[乂•..3sin当sin此时有2x兀+—4兀2xh—4ji(2x+—)=一1时,4z71、(2x+—)4—2k7T——,2_兀有Yrnin=2-V2.1吋,有Ymax2+72.x=k—7T8..3=2k7T+—,x=4-—28(kez)(kGz)故函数y取最小值2-、伍时x的集合是{x7、y取最大值2+V2时x的集合是{x8、”3x=k/T——71,83x=k79、T+-兀,8kez}kez}<2=>—2—2<2sinI2xH—+q+1v2<兀、a<1-2sin2x+—ci>—3—2sin2xH—I6丿注:本题综合运用三角恒等变形,三角函数的单调性,不等式的性质,函数的恒成立等知识,是一个较好的三角函数综合题。例4.求函数y二asinx+bcosx的最值。解:y=asinx+bcosx=yla2+Z?2sin(x+arctg—)a当x=2k7T+——arctg'吋,yn^x-(a,2a当x=2k71+—-arctg◎时,ymin=—Qu2+/?'2a例5.求函数y=sin2x+210、sinxcosx+3cos2x的最小值、最大值。并写出函数y取最值时的x的集合。解:•:y=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=V2sin(2x+—)+24从上面三例可以清晰地看出,这一类的三角函数的最值求解中运用的基本的方法是“利用辅助角法”,将较复杂的三角式转化成“Asin(ex+0)”的形式,将异名三角比化归成同名三角比。同时,也应对自变量的収值范围要仔细地考察。三、y=asin2x+bsinx+c(或y=acos'x+bcosx+c)型特点是含有sinx,cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin211、x+cos2x=l,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数來求解。例.求函数y=cos2x-2asinx-a(a为常数)的最大值M。解:y=l-sin"x-2asinx-a=-(sinx+a)^+a^+1-a,令sinx=t,则y二(t+a)2+/+1-a,(-ll时,在t=-l时,取最大值M=a<>(2)若-l<-al,即av-1时,在匸1时,取大值M=-3ao例6.已知:定义在(—8,4]上的减函数f(12、x),使得f(m-sinx)(V1+2m-—4-cos2x)4对一切实数兀均成立,求实数加的范围。解:由题意可得m-sinx>Vl+2m-—+cos2x4m-sinx<4m-Vl+2m>-sin2x+s
5、sin(x+0)51即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦门J以化为此类。a的取值范围。例3。已知f(x)=2cos2x+V3sin2x+a,若xw分析:/(%)=2cos2x+V3sin+«=1+cos
6、2x+/3sin2x+6/=2sin〔2x+兰]+d+lI6丿c717171Iti_-/71XG0,-3——<2x+—<>-1<2sin2尢——_2_666<6丿<2、71•、[乂•..3sin当sin此时有2x兀+—4兀2xh—4ji(2x+—)=一1时,4z71、(2x+—)4—2k7T——,2_兀有Yrnin=2-V2.1吋,有Ymax2+72.x=k—7T8..3=2k7T+—,x=4-—28(kez)(kGz)故函数y取最小值2-、伍时x的集合是{x
7、y取最大值2+V2时x的集合是{x
8、”3x=k/T——71,83x=k7
9、T+-兀,8kez}kez}<2=>—2—2<2sinI2xH—+q+1v2<兀、a<1-2sin2x+—ci>—3—2sin2xH—I6丿注:本题综合运用三角恒等变形,三角函数的单调性,不等式的性质,函数的恒成立等知识,是一个较好的三角函数综合题。例4.求函数y二asinx+bcosx的最值。解:y=asinx+bcosx=yla2+Z?2sin(x+arctg—)a当x=2k7T+——arctg'吋,yn^x-(a,2a当x=2k71+—-arctg◎时,ymin=—Qu2+/?'2a例5.求函数y=sin2x+2
10、sinxcosx+3cos2x的最小值、最大值。并写出函数y取最值时的x的集合。解:•:y=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=V2sin(2x+—)+24从上面三例可以清晰地看出,这一类的三角函数的最值求解中运用的基本的方法是“利用辅助角法”,将较复杂的三角式转化成“Asin(ex+0)”的形式,将异名三角比化归成同名三角比。同时,也应对自变量的収值范围要仔细地考察。三、y=asin2x+bsinx+c(或y=acos'x+bcosx+c)型特点是含有sinx,cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin2
11、x+cos2x=l,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数來求解。例.求函数y=cos2x-2asinx-a(a为常数)的最大值M。解:y=l-sin"x-2asinx-a=-(sinx+a)^+a^+1-a,令sinx=t,则y二(t+a)2+/+1-a,(-ll时,在t=-l时,取最大值M=a<>(2)若-l<-al,即av-1时,在匸1时,取大值M=-3ao例6.已知:定义在(—8,4]上的减函数f(
12、x),使得f(m-sinx)(V1+2m-—4-cos2x)4对一切实数兀均成立,求实数加的范围。解:由题意可得m-sinx>Vl+2m-—+cos2x4m-sinx<4m-Vl+2m>-sin2x+s
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