例析函数最值题的几种解法

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1、例析函数最值题的几种解法南陵二中汪后胜函数的最值求解是函数中的重要内容之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用.其涉及的知识面广，解题技巧性强，方法也因题而异.本文就常用的几种方法例析如下：一、观察法：对于简单的函数，可由已知解析式将其适当变形后，直接求出它的最值.例1求函数（∈[]）的最值解：∵，∴当时，时，=.例2求函数=(－＋)的最值解：由解析式及正弦函数的有界性得：当=时，=（－）；当=－时，=（＋）.二、判别式法：有些函数经过适当变形后，可整理为关于的二次型：=.由于为实数，所以，此类函数可以用判别式求最值.但要注意把变形过程中函数值域扩大（或缩小）

2、的部分去掉（或找回）.例3求函数=的最值解：∵分母≠,∴定义域为.原式化为=.当≠时，此二次方程有实根.∴△==≥0，即≤≤；当=时，=，即=时，=∈[,].∴=，=.例4求函数=－的最值解：由＋=平方整理得：－－.由于为实数，∴△=－≥，故≥或≤－.当函数在＞时，=－＞－=x＞；在≤时，显然有＞，∴≤－不属于所给函数的值域，这是由于在变形过程中采用了两边平方后而引起值域扩大的部分，应舍去.∴=.三、单调性法：如果函数在定义域范围内的各单调区间上是有界的（可能只有上界无下界或只有下界无上界），可先求出各区间上的值域，再由它们的并集确定原函数的值域，从而求得函

3、数的最值.例5求函数=︱2－︱－︱－︱的最值解：去掉绝对值符号得：=－(≤x≤)或=－(＜≤)或=(＜≤),由此可知：在≤≤时，为减函数且－≤≤；在＜≤时，为增函数且－＜≤；在＜≤时，为增函数且＜≤.∴=，=－.例6求函数=︱－︱＋︱－︱＋︱－5︱的最值解：由已知不等式得：=－(＜＝或=－＋(≤＜)或=－(≤＜5)或=－(≥5)，由此可知：在＜时，为减函数且＞；在≤＜时，为减函数且＜≤；在≤＜5时，为增函数且≤＜；在≥5时，为减函数且≥；综上可得：=()=.四、均值不等式法：若、∈，＋=，=.当是定值，则当且仅当=时，有最小值；当是定值，则当且仅当=时，有最

4、大值.例7求函数=的最值解：定义域为≠－，∵=－=≥－=－，∴当，即－≠－时，有=－.注：若无使等号成立，则此法无效，应改用其它方法.例8求函数=的最值解：定义域为R，虽然=≥，但无解，∴等号不成立，这说明＞.可将原函数式配方得=（－）＋，视为未知元，对于、递增，递减，－递增.∴－递增，由于－＞，∴（－）也递增.而≥，∴≥时有最小值且无最大值.故当=时，=.五、三角代换法：对于某些函数的最值，可利用三角代换巧妙地求解.在作代换时，可根据不同的函数解析式作相应的代换.如：＋=（＞），可令；＋≤（＞），可令（）；－=，可令等.例9求函数=的最值解：设，则，∴∈[

5、－]∵≥，∴取最小值时，.故，.例10设、都是正数，且，求的最值解：将方程变形为＋.设（）是此椭圆上的点，令，则－.∴当－时，；当时，.即函数的最小值为,最大值为.六、数形结合法：将一些抽象的解析式赋予几何意义，然后通过图形的属性及数量关系进行“数”与“形”的信息转换，也是解决最值问题的一种常用方法.例11已知实数、满足等式－－，求的最值解：如图，∵点（）在圆上，∴表示该点与原点连线的斜率.由于圆位于第一象限，若过原点作圆的两切线、（为切点），则的最值分别是直线、的斜率.=，即，∴=.整理为：=0,解得,∴=,=.例12求函数的最小值解：∵等价于“求动点到距

6、离之和的最小值”，即的最小值.∵≥，当且仅当在线段上时，等号成立.故的最小值为.即原函数的最小值为.七、巧设坐标法：对于无理函数最值的求解，可利用直角坐标系中的某些特殊点的位置加以解决.例13求函数的最小值解：将函数变为，在直角坐标系中，设，问题可化为在轴上找一点，使的值最小.∵、在轴同侧，取点关于轴的对称点，连，交轴于，则直线的方程为，即.令得，∴点坐标为，.例14求函数－的最大值解：－，在直角坐标系中，、，问题化为在轴上求一点，使－的值最大.∵、在轴同侧，直线与轴的交点即为点.∴直线的方程为，即.得，点坐标为.∴－.八、利用复数的模：将无理数看成复数的模

7、，然后利用复数模的概念及复数模的不等式，也是解决某些无理函数最值的有效方法.但要注意的是必须满足所有复数和的模为常数.例15求函数的最小值解：∵，设，则有：≥（常数）.∴当、共线且同向时，等号成立.即，得，∴当时.例16求函数最小值解：设，，，，则有：=≥（常数）.当与、共线且同向时，等号成立.即，得，∴当时.