最值问题的不等式解法常见错误例析.doc

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1、最值问题的不等式解法常见错误例析襄樊三中朱凯最值问题的不等式解法，简单地说，就是利用不等式中的等号成立求最值，它是高中数学中求最值的基本方法之一。运用这种方法，往往需要对相关对象进行适当的放大、缩小，或不等式之间进行传递、相加、相乘等变形。在此过程中，同学们常常因忽视等号成立而导致错误，而且错误往往不易察觉。下面介绍几例，供大家学习时参考。一、忽视均值不等式中的等号成立致错例1求函数y=sin2x+(x≠kπ，k∈Z)的最小值。错解：由y=sin2x+≥2=2可得，y的最小值是2。点评：在y≥2中，当且仅当sin2x=，即sin4x=2

2、时等号成立。由sinx的有界性可知，这是不可能的，即均值不等式中的等号不可能成立，故2不是y的最小值。正解：先拆项，再由二元或三元均值不等式得，y=sin2x++≥2+≥3，或y=sin2x++≥3≥3，当且仅当sin2x=，即sin2x=1时等号成立，故y的最小值是3.二、忽视不等式传递之后等号成立致错例2若正实数x、y满足=1，求x+y的最小值。错解：∵1=≥2=,∴≥16.于是x+y≥2≥32，故x+y的最小值是32.点评：这里≥16中，当且仅当，即y=4x时等号成立；而x+y≥2中，当且仅当x=y时等号成立。因此传递之后所得到的

3、不等式x+y≥32中的等号不可能成立,故32不是x+y的最小值。正解：x+y=1（x+y）=（）（x+y）=20+（）≥20+2=20+16=36，当且仅当，即y=2x时（此时x=12，y=24）等号成立，故x+y的最小值是36。三、忽视不等式相加、相乘后等号成立致错3例3若正实数a、b满足a+b=1,求（a+）（b+）的最小值。错解：∵a+≥2，b+≥2，∴（a+）（b+）≥4.故（a+）（b+）的最小值是4.点评：这里两个不等式相乘所得到的不等式，（a+）（b+）≥4中，当且仅当a=1且b=1时等号成立，于是a+b=2，此与已知a+

4、b=1矛盾,因此等号不能成立，故4不是（a+）（b+）的最小值。正解：（a+）（b+）==∵1=a+b≥2，∴ab≤，≥4，1—ab≥.于是（a+）（b+）≥4[（）2+1]=，当且仅当a=b=时等号成立，故（a+）（b+）的最小值为.例4已知函数f(x)=ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（3）的最大值与最小值。－4≤a－c≤－1错解：由题意得，（I）－1≤4a－c≤50≤a≤3利用不等式的相加性、相乘性可得，（II）1≤c≤7∴0≤9a≤27，－7≤－c≤－1，∴－7≤9a－c≤26，而f（3）=9a－c，

5、∴－7≤f（3）≤26.故f（3）的最大值是26，最小值是－7.点评：在－7≤f（3）≤26中，当且仅当a=3，c=1时右等号成立，当且仅当a=0，c=7时左等号成立，这两组值均不满足（I）式，因此－7≤f（3）≤26中的左右等号均不能成立，故26、－7不是f（3）的最大值与最小值。其实（II）式是（I）式成立的必要而非充分的条件，由（I）式变到（II）式扩大了a、c的取值范围。正解：由f（1）=a－c，f（2）=4a－c，f（3）=9a－c可设f（3）=mf(1)+nf(2).展开整理后就是9a－c=（m+4n）a－(m+n)cm+4

6、n=9∴m=－∴m+n=1n=∴f（3）=－f（1）+f（2）而－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，∴≤－f（1）≤，－≤f（2）≤∴－1≤－f（1）+f（2）≤20，即－1≤f（3）≤20，a－c=－4a－c=－13当即a=3，c=7时，右等号成立，当4a－c=5，4a－c=－1即a=0，c=1时，左等号成立，两组值均满足（I）式.故f（3）的最大值是20，最小值是－1.3