[理学]01极限连续

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1、《高数竞赛》第一章极限与连续1、设在上有定义，且存在常数，使，有，则为周期函数。证明:，有，故，故是以为周期的函数。2、若，则。证明:假设，则，将(2)、(3)式相加得，这与(1)式矛盾，故。3、求满足的正整数解的个数。解:由于为整数，且得，即，而，故时，，即，有组；时，，即，有组；…….，时，，即，有组；故满足的正整数解共有组。4、简化的表达式，并画出其图像。解:由于，且，故35《高数竞赛》，图像如下5、设，求的值。解:令，则，且，故。6、设为三次多项式，而，且，求。解:由题设知，存在，使，且，解之得，故，从而。7、设为自然数，求。解:若(有理数)，则存在互质的整数，其中，且，

2、而时，为偶整数，故，从而，有，故，从而；若，则，有，故，从而；由此可见。8、设，而，有，求。35《高数竞赛》解:由题设知，有，且，故，从而。9、设为常数，而数列满足，且收敛。(1)、若，则一定收敛；(2)、若，问是否收敛?解:不妨设，则(1)、当时，，存在自然数，使时，有，故，从而，，…….，，令，则由于，故，由的任意性，得；(2)、当时，未必收敛，如对发散，但却收敛。10、设数列满足，则数列收敛。证明:由题设知，恒有，且，即单调递增有上界，故收敛。35《高数竞赛》11、设数列满足，求。解:令，则，故，，，即。12、设，则收敛，并求。解:若，则，且，故，即，故，且，故，从而，故。

3、13、设，则收敛，并求。解:由于，假设，则，且，故，即单调递增且有上界，故收敛，且满足，即，故。14、设，求。解:若，则；35《高数竞赛》若，则；若，则，而，故。注:若，则。15、设，则收敛，并求。证明:由于，故，假设，则，故有界；又，假设，则，故单调递增，故单调递增且有界，从而存在，且满足，即，故。16、如图所示，，且点在直线上运动时，与之间的夹角为，求极限。解:设，则，由余弦定理知，即，解之得，故35《高数竞赛》。17、设数列满足，则收敛，并求。证明:由知，，且，故，从而；18、设在上连续，且，则，至少存在一个，使之满足。证明:由题设知，函数在上连续，且，，故由介值定理知，存

4、在，使，即。19、设为上的连续函数，则。证明:若，有，则，令，则；若，则，有。20、下列命题中正确的给出证明，错误的给出反例:(1)、若在上有定义，且在处连续，则存在，使在内连续；(2)、若存在，使在内连续，且(有限)，则存在；(3)、若在上连续，且在处取到极小值，则存在，使在上单调下降，而在内单调上升；35《高数竞赛》解：(1)错，如仅在处连续；(2)对，事实上；(3)错，如处处连续，且在处取到极小值，但在的左、右两侧的任意邻域内都不单调。21、设不超过的最大整数，求的间断点，并说明其类型。解:由于时，，故，故，而时，，故，从而是其唯一的间断点(第一类的可去间断点)。22、设在

5、上连续，且满足，则常数。证明:由题设知，有，令，得，故常数。23、设为常数，而，有，则收敛，并求。解:由题设知，，有，假设，则满足，即，故，下面证明是收敛的。由于及，故，有，35《高数竞赛》，，由上面三式知若，则，有，若，则，有，从而由单调有界原理知均存在，且满足，故，即，从而收敛，且。24、设，求。解:，故。25、设，则收敛。证明:令，则，存在，使，从而，有，故35《高数竞赛》，，故，有，即单调递减且有下界，从而收敛，即存在，使，通过数值计算知是无理数，即，其中。26、设在上连续，且，则存在，使。证明:假设，有，则在上连续且同号，不妨设，有，则，即，矛盾，故存在，使。27、求极

6、限(1)、；解:令，则，且，故。(2)、；解:令，则，而，有35《高数竞赛》，故，其中为常数，而，从而。28、三人投宿，每晚30元，三人每人掏了10元凑够30元交给了老板，后来老板说今天优惠只要25元就够了，便拿出5元令服务生退还给他们，但服务生偷拿了2元，将剩下的3元分给那三人，每人分到1元，这样他们每人只花了9元，则元服务生偷拿的2元元，还有1元钱到哪里去了?解:没有少一分钱，老板手里有25元，服务生拿了2元，投宿者每人有1元(共3元)，合起来总共是元，一分不少!29、、设，求。解:，，故。30、设为常数，且，有，则。解:由题设知，有，故，即单调递减；且容易证明，事实上若，

7、则，故，从而单调递减趋于0，故。35《高数竞赛》31、设为自然数，求。解:令，则，且。32、求。33、求；34、若在上有定义，且，则。解:错误，如，则，而，但。35、设，而时，，求。解:显然，有单调递增，且，否则有界，即存在，使，恒有，故，矛盾，故，且，即，故，35《高数竞赛》故，由定理得，又，故，从而，再由定理得，故。36、设在上连续，而积分绝对收敛，则。证明:由于绝对收敛，故存在有限实数，使，而在上连续及，故，存在，使时，，有，且，故时，有，从而。37、设，而，有，则，并求。